MOVIMIENTO PARABÓLICO
un atrevido cirquero es disparado por un cañón que forma un ángulo de 45° con la horizontal con un velocidad de 25m/s. Una red está colocada a 50 m del cañon A qué altura por encima del cañon deberá colocarse la red para que el cirquero caiga en ella?
Respuestas
Explicación:
Lo primero que hay que comprobar es que a 50 m del cañón va
descendiendo, pues de lo contrario la red no valdría sino para tirarle
antes.
Este es para mí el punto interesante del problema. Otros datos
podrían provocar el error de alumnos poco precavidos
Derivamos para determinar el cénit de la trayectoria y despejamos x
x (y_max) = V^2 / ( 2 g ) = 31, 86 m
y_max = 15,93 m
t (x_max) = sqrt (2) x / V = 1,8 s es el tiempo de subida
Una vez comprobado que x (y_max) < distancia a la red, confirmamos que
va bajando. El problema no tiene trampa
y ( 50 m ) = 10,76 m
t = 2,83 s. Duración total del vuelo
Para calcular velocidades
u_x = V cos a = 17,68 m/s
u_y = V sen a - g t = -10,07 m/s (bajando)
| u | = sqrt( u_x ^2 + u_y ^2 ) = 20,34 m/s
Para dar un poquito mas de salsa al problema, demostremos que esos 45º
valen para llegar lo más lejos posible -dada V >0 y asumiendo que no
hay obstáculos que interrumpan la trayectoria.
La trayectoria tiene altura 0 en x = 0 y x_max
x ( ( tg a ) - x g / ( 2 V^2 cos^2 a ) = 0
x(a) = ( V^2 / g ) 2 cos^2 a tg a = ( V^2 / g ) sen 2a
x(a)_max ==> sen 2a = 1 ==> a = 45º
El que prefiera igualar a 0 la derivada (la función es continua )
dx/da = ( 2 V^2 / g ) cos 2a = 0 ==> cos 2a = 0 ==> a = 45º
Por cierto, para que salga a 25 m/s, o el cañón es muy largo o la
aceleración es mucha para un ser humano.
Sirva de ejemplo:
4g con 8m (de recorrido) + la altura de hombre bala