Question

Se conoce que el 10% de las notas de un examen son mayores a 10 y además que el 95% son menores 12. Se pide encontrar la media y varianza de las notas del examen, asumiendo que las notas tienen una representación de una distribución normal.​

Answer 1

El promedio de notas en el examen es  10,88  puntos y la varianza es de  0,46  puntos² .

Explicación:

Para hallar probabilidades asociadas a la distribución normal se usa una tabla de probabilidades acumuladas calculadas como áreas bajo la curva normal estándar (z).

Si definimos la variable aleatoria con distribución normal:

x  =  nota del examen

 

Su estandarización para calcular probabilidades en la tabla estándar es:

$\bold{z~=~\dfrac{x~-~\mu}{\sigma}}$

Siendo  μ  la media poblacional y  σ  la desviación estándar de la población.

En la tabla se obtienen probabilidades acumuladas hasta el valor en estudio, y se denotan:

$\bold{P(x~<~a)~=~P(z~<~\dfrac{a~-~\mu}{\sigma})}$

Vamos a construir un sistema de ecuaciones a partir de los porcentajes dados y la estandarización de cada una de las situaciones dadas.

1.     10%    de las notas son mayores a 10 puntos

Se conoce la probabilidad de que  x  sea mayor que 10. Dado que la tabla arroja probabilidades acumuladas, es necesario trabajar con el evento complemento para obtener la cola derecha de la distribución:

P(x  >  10)  =  0,1

$\bold{P(x~>~10)~=~1~-~P(x~<~10)~=~1~-~P(z~<\dfrac{10~-~\mu}{\sigma})~=~0,1\qquad\Rightarrow\qquad}$

$\bold{P(x~>~10)~=~1~-~P(z~<~\dfrac{10~-~\mu}{\sigma})~=~0,9}$

El valor de z asociado en la tabla es:    z   =   -1,28;    por lo tanto

$\bold{\dfrac{10~-~\mu}{\sigma}~=~-1,28}$

2.    95%    de las notas son menores a  12  puntos

Se conoce la probabilidad de que   x    sea menor que 12:  

P(x  <  12)  =  0,95  

$\bold{P(x~<~12)~=~P(z~<\dfrac{12~-~\mu}{\sigma})~=~0,95}$

 

El valor de z asociado en la tabla es:    z   =   1,645;   por lo tanto

 

$\bold{\dfrac{12~-~\mu}{\sigma}~=~1,645}$

3. Resolvemos el sistema  

$\left \{ {\bold{\dfrac{12~-~\mu}{\sigma}~=~1,645} \atop\bold{\dfrac{10~-~\mu}{\sigma}~=~-1,28} \right.\quad\Rightarrow$  

$\left \{ {\bold{12~-~\mu~=~1,645\sigma} \atop\bold{10~-~\mu~=~-1,28\sigma} \right.\quad\Rightarrow$

 

Resolvemos por el método de reducción, multiplicando por  -1  la segunda ecuación y sumando

$\bold{2~=~2,925\sigma \quad\Rightarrow\qquad\sigma~=~0,68}$  

Sustituimos ese valor en cualquiera de las ecuaciones

$\bold{12~-~\mu~=~1,645\cdot(0,68)\qquad\Rightarrow\qquad\mu~=~10,88}$

La varianza es el cuadrado de la desviación estándar:   σ²  =  0,46

El promedio de notas en el examen es  10,88  puntos y la varianza es de  0,46  puntos² .