Question

Dada la siguiente cónica: 2y2−5y+x−4=0

a) Determine sus elementos principales incluidas la o las directrices

b) Realice su representación en el plano cartesiano

Answer 1

La parábola en estudio tiene ecuación general:      2y²  -  5y  +  x  -  4  =  0

Es una parábola de eje horizontal cuya ecuación canónica es de la forma:

(y  -   k)²  =  ± 4p (x  -  h)

donde:

(h, k)    es el vértice de la parábola

4p    es la longitud del lado recto

p    es la distancia, medida sobre el eje de la parábola, vértice-directriz y vértice-foco.

Para expresar la parábola dada en ecuación canónica aplicamos completación de cuadrados

2y²  -  5y  +  x  -  4  =  0            ⇒            2[y²  -  (5/2)y]  =  4  -  x            ⇒

2[(y  -  5/4)²  -  25/16]  =  4  -  x          ⇒          2(y  -  5/4)²  =  57/8  -  x          ⇒

(y  -  5/4)²  =  -1/2 (x  -  57/8)

Esta es la ecuación canónica de la parábola. Los elementos son:

Eje horizontal de la parábola:        y  =  5/4

Vértice:          (57/8,  5/4)

Sentido de abertura:    sentido negativo, hacia la izquierda

Distancia vértice-foco y vértice directriz:        p  =  1/2

Foco:    (57/8 -  1/2,  5/4)  =  (53/8,  5/4)

Directriz:        x  =  57/8  +  1/2              ⇒          x  =  61/8

En anexos se observa la gráfica.