Question

Dado Tg(3x) Ctg(x+20º) = 1 y Sen(2x) = Cos(3y+10º), donde x y y toman su menor valor posible, calcular:

A= 4 sen(3x) + 2 cos(3y) + Ctg^2(x+y)

Answer 1

El valor de A en la expresión propuesta es 6.

Explicación paso a paso:

Planteando la primera identidad entre la tangente y la cotangente, que son funciones recíprocas entre sí tenemos:

$tan(3x).cot(x+20)=1\\\\tan(3x).\frac{1}{tan(x+20)}=1\\\\tan(3x)=tan(x+20)\\\\3x=x+20\\\\2x=20\\\\x=10$

Y de acuerdo a la segunda expresión tenemos:

$sen(2x)=cos(3y+10\°)$

El valor de x ya lo conocemos, y además, tenemos que el seno de un ángulo es igual al coseno de su complementario, por lo que queda:

$cos(90\°-2x)=cos(3y+10\°)\\\\90\°-2x=3y+10\°\\\\y=\frac{90\°-2x-10\°}{3}=\frac{90\°-2.10\°-10\°}{3}=20\°$

Entonces ahora podemos calcular el valor de A según la expresión dada:

$A=4.sen(3x)+2.cos(3y)+cot^2(x+y)\\\\A=4.sen(3.10\°)+2.cos(3.20\°)+cot^2(10\°+20\°)\\\\A=4.sen(30\°)+2.cos(60\°)+cot^2(30\°)\\\\A=4.sen(30\°)+2.cos(60\°)+\frac{1}{tan^2(30\°)}\\\\A=4.\frac{1}{2}+2\frac{1}{2}+\frac{1}{(\frac{1}{\sqrt{3}})^2}=2+1+3=6$