Question

demuestrar que  u.v = 1/4 llu+vll^2 - 1/4 llu+vll^2

Answer 1

OJO:  Si: u.v = 1/4 llu+vll^2 - 1/4 llu+vll^2

Entonces:  u.v = 0

y para que ello se cumpla, tanto el vector u , como v , pueden ser nulos, o en todo caso, ambos vectores, deben ser perpendiculares.

Por tal modo, lo que realmente, te deben pedir demostrar , es lo siguiente:

Que:                u.v = 1/4 llu+vll^2 - 1/4 llu - vll^2
                                                            ↓
                                                         (OJO)

Asi, su demostración, seria la siguiente:

Demostración:

i) Como bien sabemos:        ( * u.v = producto escalar de los vectores u y v )
                      
⇒ ||u+v||² = u² + 2u.v + v²              
                      
⇒ ||u-v||² = u² - 2u.v + v²            


Luego, si  restamos ambas igualdades, miembro a miembros, obtendremos que:


||u+v||² -  ||u-v||² = 4u.v

Que es lo mismo decir:      4u.v = ||u+v||² -  ||u-v||²

Multiplicamos por (1/4) a ambos miembros, y obtenemos que:

                       (1/4)(4u.v) = (1/4) ( ||u+v||² -  ||u-v||² )

                          .:. u.v = (1/4)||u+v||²  - (1/4) ||u-v||²           
                                                                                        Lqqd
                                                                      (Lo que queriamos demostrar)


Eso es todo!!!