Question

La oficina regional del Departamento de Protección Ambiental de Estados Unidos contrata anualmente a estudiantes de leyes del segundo año como empleados internos de verano para que auxilien en la preparación de algunos juicios. El Departamento tiene un cierto presupuesto y desea mantener sus costos al mínimo; no obstante, desea contratar el número máximo de estudiantes sin excederse de personal. En promedio, se necesitan dos internos durante todo el verano para que investiguen un caso. Los internos entregan su trabajo a los abogados de planta, quienes entablan acciones judiciales sobre los casos durante el otoño, que es cuando la corte entra en labores. El coordinador legal de personal tiene que entregar su solicitud de presupuesto de los puestos que desea tener en junio del año precedente. Por tanto, le es imposible saber con certeza cuántos casos deberán investigar en el verano siguiente. Los datos sobre los veranos anteriores son los siguientes:

Año 1987 1988 1989 1990 1991

Número de casos 6 4 8 7 5

Año 1992 1993 1994 1995 1996

Número de casos 6 4 5 4 5

Utilizando estos datos como su distribución de probabilidad para el número de casos, el coordinador legal de personal desea contratar el número suficiente de estudiantes para investigar el número esperado de casos que se tendrán. ¿Cuántos puestos para los internos temporales deberá solicitar en su presupuesto?

Answer 1

El coordinador legal de personal deberá solicitar en su presupuesto  12 puestos para los estudiantes que se desempeñarán como internos temporales.

Explicación:

Se define la variable aleatoria  x  que representa el número de casos en el verano.

Las probabilidades asociadas a cada realización de la variable  x  vienen dadas por la razón entre el valor de  x  del año correspondiente y el número total de casos en los 10 años previos, es decir, 54 casos en total.

La distribución de probabilidad de  x  se presenta en la siguiente tabla:

$\bold{\begin {array} {c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}\underline {~~~~~~x~~~~~~} & \underline {~~6~~} & \underline {~~4~~}& \underline {~~8~~} & \underline {~~7~~} & \underline {~~5~~} & \underline {~~6~~} & \underline {~~4~~} & \underline {~~5~~} & \underline {~~4~~} & \underline {~~5~~} \\ P(X=x) & \frac{6}{54} & \frac{4}{54} & \frac{8}{54} & \frac{7}{54} & \frac{5}{54} & \frac{6}{54} & \frac{4}{54} & \frac{5}{54} & \frac{4}{54} & \frac{5}{54} \\\end {array}}$

Esperanza matemática o valor esperado, es la realización más probable que ocurra de la variable aleatoria. En este caso es la cantidad de casos que se espera ocurran y en base a ese número es que el coordinador legal de personal va a establecer sus estimaciones presupuestarias.

E(x)  viene dada por la suma de los valores de  x  ponderados por sus probabilidades de ocurrencia

$\bold{E(x)~=~\Sigma_{i}[(x_{i})\cdot P(X~=~x_{i})]\qquad\Rightarrow}$

$\bold{E(x)~=~ (6)\cdot(\dfrac{6}{54})~+~(4)\cdot(\dfrac{4}{54})~+~\cdots ~+~ (5)\cdot(\dfrac{5}{54})~+~(4)\cdot(\dfrac{4}{54})~\approx~6}$

Se espera tener 6 casos que investigar y, por tanto, se necesitarán 12 internos temporales; ya que cada caso requiere de 2 internos que investiguen.

El coordinador legal de personal deberá solicitar en su presupuesto  12 puestos para los estudiantes que se desempeñarán como internos temporales.