Question

Un topógrafo desde un punto en tierra divisa la parte superior del Templo de Santa Catalina con un ángulo de elevación de 53°, además la altura del Templo de Santa Catalina es de 12m. A qué distancia (en m) del templo se encuentra el topógrafo.

Answer 1

El topógrafo se encuentra a 9 metros del templo

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde el triángulo dado resulta ser lo que se llama un triángulo notable.      

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben sólo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.  

En estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.

Y esa letra k a la vez es una constante, que conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en la resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto.

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 37-53 (por sus ángulos) o 3-4-5 (por sus lados).

• Este triángulo tiene un ángulo de 37° y otro de 53°, donde el lado opuesto al ángulo de 37° medirá 3k y el lado opuesto al ángulo de 53° medirá 4k y la hipotenusa medirá 5k. Donde k es siempre una constante.

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC  el cual está conformado por el lado BC que equivale a la altura del Templo de Santo Domingo, el lado AC que representa la distancia del topógrafo hasta el templo y el lado AB es la línea visual con la que divisa el topógrafo la parte superior del Templo con un ángulo de elevación de 53°

Solución

Método 1

Razones trigonométricas con ángulos notables

Conocemos

• Altura del Templo = 12 m

• Ángulo de elevación = 53°

• Debemos a que distancia se encuentra el topógrafo del templo

Como conocemos el cateto opuesto (altura del templo) al ángulo dado y buscamos el valor del cateto adyacente (distancia al templo), relacionamos estos datos con la tangente del ángulo α

Como tenemos un triángulo notable

$\large\boxed{\bold { tan(53^ o) = \frac{4}{3} }}$

$\boxed{\bold { tan(53^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(53^o) = \frac{ altura\ templo }{ distancia \ al \ templo} } }$

$\boxed{\bold { distancia \ al \ templo= \frac{ altura\ templo }{tan(53^o) } } }$

Si

$\boxed{\bold { tan(53^ o) = \frac{4}{3} }}$

$\boxed{\bold { distancia \ al \ templo = \frac{ 12 \ m }{ \frac{4}{3} } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ al \ templo= 12 \ m \ .\ \frac{3}{4} } }$

$\boxed{\bold { distancia \ al \ templo= \frac{36 \ m }{4} } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ al \ templo = 9 \ metros } }$

Método 2

Hallando el valor de la constante k

La altura del templo es de 12 metros

Y es el lado opuesto al ángulo de 53° por lo tanto mide 4k

Planteamos

$\boxed{\bold { altura\ templo =12 \ m= 4k }}$

Despejamos a la constante k

$\boxed{\bold {4 k = 12 \ m }}$

$\boxed{\bold { k = \frac{ 12 \ m }{4 } }}$

$\boxed{\bold { k = 3 }}$

El valor de la constante k es de 3

La distancia del templo al topógrafo es el lado adyacente al ángulo de 53°, por lo tanto medirá 3k

Planteamos

$\boxed{\bold { distancia \ al \ templo = 3k }}$

Reemplazamos el valor de la constante k

$\boxed{\bold { distancia \ al \ templo= 3 \ . \ 3 }}$

Obteniendo

$\large\boxed{\bold { distancia \ al \ templo = 9 \ metros } }$

Se arriba al mismo resultado