Question

una escalera de 6 metros se apoya en una pared de manera que de la parte inferior de la escalera hasta la pared hay 4 metros de distancia ¿que altura alcanza la escalera?​

Answer 1

La escalera alcanza una altura de 4.47 metros

Una escalera  de 6 metros de longitud se apoya contra una pared de manera tal que la parte inferior de la escalera se encuentra a 4 metros de distancia de la pared.

Se pide determinar que altura alcanza la escalera

Este problema se resuelve empleando el Teorema de Pitágoras

¿De qué se trata del teorema de Pitágoras?  

El Teorema de Pitágoras es un teorema que nos permite relacionar los tres lados de un triángulo rectángulo, por lo que es de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos y queremos hallar el valor del tercero.

Un triángulo rectángulo es aquél en el que uno de sus tres ángulos mide 90 grados, es decir, es un ángulo recto. Está claro que si uno de los ángulos es recto, ninguno de los otros dos puede serlo, pues deben sumar entre los tres 180 grados.  Por lo tanto los dos ángulos restantes son agudos.

En los triángulos rectángulos se distinguen unos lados de otros. Así, al lado mayor de los tres y opuesto al ángulo de 90 grados se le llama hipotenusa, y a los otros dos lados catetos.    

El teorema de Pitágoras dice que: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

$\boxed {\bold { hipotenusa^{2} = cateto \ 1^{2} \ + \ cateto \ 2^{2} }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}$

Solución

El ángulo que forma la altura de la pared con el suelo es un ángulo recto, con lo que tenemos un triángulo rectángulo.

Donde la distancia a la que se encuentra la parte inferior de la escalera hasta la pared forma un cateto, el otro cateto lo conforma la altura de la pared y donde la longitud de la escalera es la hipotenusa del triángulo rectángulo

Empleamos la notación habitual en los triángulos rectángulos donde a y b son los catetos y c la hipotenusa

Conocemos la distancia del pie de la escalera a la pared (cateto 2 = b)  y la longitud de la escalera (hipotenusa = c)

Debemos hallar que altura alcanza la escalera de acuerdo a los datos dados

Hallamos la altura que alcanza la escalera aplicando teorema de Pitágoras

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}$

$\large\boxed {\bold { a^{2} = c^{2} \ - \ b^{2} }}$

$\boxed {\bold { a^{2} = (6\ m )^{2} \ - \ (4 \ m)^{2} }}$

$\boxed {\bold { a^{2} = 36 \ m^{2} \ - \ 16 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold { a^{2} = 20 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold { \sqrt{ a^{2} } = \sqrt{20 \ m ^{2} } }}$

$\boxed {\bold { a = \sqrt{20 \ m^{2} } }}$

$\large\boxed {\bold { a \approx 4.47 \ metros }}$

La escalera alcanza una altura de 4.47 metros