5. Una caja de cartón tiene una base cuadrada. Cada lado de la base tiene x pulgada longitud. La longitud total de los 12 lados de la caja es 144 pulgadas. a. Muestre que el volumen de la caja está dado por la función V(x) = 2x2(18 – b. ¿Cuál es el dominio de V? (Use el hecho de que la longitud y el volumen deber positivos) C. Dibuje la gráfica de la función V y utilícela para estimar el volumen máximo tal caja.
Respuestas
Respuesta:
Considerando una caja de ancho y largo "x", y de altura "a"
Explicación paso a paso:
sabemos que 8 de sus aristas miden "x" y las otras 4 miden "a"
despejamos "a" y nos queda:
4x+4x+4a=144
8x+4a=144 aplicamos factor común
4(2x+a)=144 despejamos
2x+a=144/4 dividimos
2x+a=36 despejamos "a"
a=36-2x
conociendo la altura "a" podemos averiguar el volumen de la caja:
x^2(36-2x)
la función que representa el volumen de la caja queda asi:
f(x): x^2(36-2x)
De acuerdo a la información suministrada sobre las dimensiones de la base cuadrada y a la longitud total de sus doce lados, tenemos que el volumen de la caja viene dado por la función:
V ( x ) =2*x²*( 18 - x )
¿ Cómo podemos obtener la función que representa el volumen de la caja en función de x ?
Para obtener la función que representa el volumen de la caja en función de x debemos escribir la información en lenguaje algebraico y simplificar las ecuaciones, tal como se muestra a continuación:
8*x + 4*h = 144
V = x²*h
V ( x ) = 2*x²*( 18 - x )
El dominio de la función volumen, considerando que tanto las dimensiones como el volumen de la caja deben ser positivos, corresponde a todos los valores de x tales que x sea mayor a cero y menor a dieciocho.
El volumen máximo de la caja viene dado por el valor de x que maximiza dicho volumen. Para calcular el valor de x que maximiza el volumen se debe obtener la primera derivada de la función e igualarla a cero.
Entonces el máximo volumen es 348,8616
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