Question

Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de ancho uniforme. Determine la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².

Answer 1

Hummm... fácil

Mira para resolverlo debes dibujar el rectángulo con el camino alrededor de el

Divides el camino en 4 cuadrados en las esquinas de lado x, y te quedan 2 rectángulos con medidas: longitud 50 y ancho x, y dos rectángulos con medidas: longitud 34 y ancho x

Ahora vamos a buscar el ancho que es lo que nos exige el problema, como ya sabemos el área total del camino podemos hacer lo siguiente:

2(50 x) + 2(34 x) + 4(x^2) = 540
50x es el área del rectángulo más largo y se multiplica por 2 porque son 2... obvio

34x es el área del rectángulo más pequeño y se multiplica por 2 porque son 2... más obvio ¿no?

(x^2) es el área de los cuadrados de la esquina y como son 4 se multiplica esa área por 4... más obvio ¿no?

Después de una breve explicadita resolvemos la ecuación resultante
2(50 x) + 2(34 x) + 4(x^2) = 540
100x + 68x + 4x^2 = 540
4x^2 + 168x = 540
Completamos el cuadrado (Hummm... espero y sepas que es eso)
4x^2 + 168x = 540
Primero vamos a dividir toda la ecaución entre 4 para lograr que x^2 se queda sola sin coeficiente
4x^2 + 168x = 540
---------------------------
............4

x^2 + 42x = 135
Ahora le sumamos a ambos lados de la igualdad el cuadrado de la mitad del coeficiente de x (en este caso 42)
Como la mitad de 42 es 21, vamos a sumarle a ambos lados (21)^2
x^2 + 42x + (21)^2 = 540 + (21)^2
Ahora ya se nos completó el Trinomio cuadrado perfecto, por lo tato podemos factorizarlo como un binomio al cuadrado
(x + 21)^2 = 540 + 441
(x + 21)^2 = 576
Quitamos el cuadrado del lado izquierdo y lo pasamos el lado derecho sacandole raíz cuadrada a 576
x + 21 = √576
x + 21 = 24
x = 24 -21
x = 3

El ancho del camino es de 3 m

Comprobamos para verificar:
100x + 68x + 4x^2 = 540
100(3) + 68(3) + 4(3)^3 = 540
300 + 204 + 36 = 540
540 = 540