un niño de 1.5 m de estatura esta hubicado a 12 m de una torre y obsrva su parte mas alta de un angulo de elevacion de 37 grados ¿ cualbes la aultura de la torre?​

Respuestas

Respuesta dada por: arkyta
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La altura de la torre es de 10.5 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde el triángulo de 37-53 resulta ser lo que se denomina un triángulo notable

La altura de la torre junto con el suelo -donde esta se asienta- forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC que equivale a una porción de la altura de la torre y llamamos a esa distancia "x" la cual es una preincógnita, -siendo el cateto opuesto al ángulo dado-, el lado AB representa la línea visual desde el punto donde se encuentran los ojos del observador hasta el extremo superior de la torre; la cual es vista con un ángulo de elevación de 37° y finalmente el lado BC que es una proyección del plano del suelo - donde esta distancia coincide con el punto desde donde se encuentra el niño observador hasta la base de la torre-

Donde se pide hallar la altura (h) de la torre

Luego debemos dividir a la altura h de la torre en dos partes: la distancia "x", -la cual se encuentra por encima de los ojos del niño observador y del plano del suelo- de la cual desconocemos su magnitud y la longitud que coincide con la estatura de la persona observadora

La sumatoria de la distancia "x" y la estatura de la persona nos darán la altura h de la torre

Conocemos la distancia desde el niño hasta la base de la torre y de un ángulo de elevación de 37°

  • Distancia desde el niño hasta la base de la torre = 12 metros
  • Ángulo de elevación = 37°
  • Debemos hallar la distancia "x"

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo dado -que es la distancia horizontal desde el niño observador hasta la base de la torre- y conocemos un ángulo de elevación de 37° y debemos hallar la distancia "x" -porción de la altura de la torre-, la cual es el cateto opuesto al ángulo dado del triángulo rectángulo determinamos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Razones trigonométricas con ángulos notables

Hallamos la distancia x  -porción de la altura de la torre-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α \bold{  \alpha = 37^o }

Planteamos

\boxed { \bold  { tan (37^o) = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente    }  }}

\boxed { \bold  { tan (37^o) = \frac{distancia \ x }{ distancia \ a \ base \  torre    }  }}

\boxed { \bold {distancia \ x  = distancia \ a \ base \  torre \ . \  tan (37^o) }}

\boxed { \bold {distancia \ x = 12\  metros\ . \  tan (37^o) }}

Como tenemos un ángulo notable

\large \textsf{El valor exacto de tan de 37 grados es de  }\bold{ \frac{3}{4}   }

\boxed { \bold {distancia \ x = 12\  metros\ . \  \frac{3}{4}    }}

\boxed { \bold {distancia \ x =  \frac{36}{4} \  metros   }}

\large\boxed { \bold {distancia \ x =9  \ metros    }}

Por tanto la distancia x  -porción de la altura de la torre- es de 9 metros

Determinamos la altura h de la torre

\boxed { \bold { Altura \ de \ la   \ Torre\ ( h)=  distancia \ x  +estatura \ persona}}

\boxed { \bold {   Altura \ de \ la   \ Torre\ ( h) = 9 \  metros +  1.5 \ metros   }}

\large\boxed { \bold {   Altura \ de \ la   \ Torre\ ( h)  = 10.5 \  metros    }}

Luego la altura de la torre es de 10.5 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del ejercicio propuesto

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