El desplazamiento en función del tiempo de una masa de 1.50 kg en un resorte está dado por la ecuación x(t) = (7.40 cm)cos[(4.16s−1)t − 2.42]. Calcule a) el tiempo que tarda una vibración completa; b) la constante de fuerza del resorte; c) la rapidez máxima de la masa; d) la fuerza máxima que actúa sobre la masa; e) la posición, rapidez y aceleración de la masa en t = 1.00 s; f ) y la fuerza que actúa sobre la masa en ese momento.
Respuestas
x = A cos(ω t + Ф), con ω = 2 π /T, siendo T el período
a) Se pide por el período: 2 π / = 4,16 rad/s; T = 1,51 s
b) Se sabe que ω² = k/m; k = 1,50 kg (4,16 rad/s)² = 26 N/m
c) La rapidez máxima es V = A ω = 7,40 cm . 4,16 rad/s = 30,78 cm/s
d) Necesitamos la aceleración máxima:
a = A ω² = 7,4 . 4,16² = 128 cm/s² = 1,28 m/s²
F = m a = 1,5 kg . 1,28 m/s² = 1,92 N
d) x = 7,4 cos(4,26 . 1,00 - 2,42) = - 1,97 cm (calculadora en radianes)
La velocidad es la derivada de la posición:
v = - 7,4 . 4,16 sen(4,16 t - 2,42); para t = 1 s
v= - 7,4 . 4,16 sen(4,16 . 1,00 - 2,42) = - 30,3 cm/s
La aceleración es la derivada de la velocidad.
a = - 7,4 . 4,16² cos(4,16 t - 2,42)
a = - 7,4 . 4,16² cos(4,16 . 1,00 - 2,42) = - 21,56 cm/s²
F = - 1,5 kg . 0,2156 m/s² = - 0,323 N
Saludos Herminio
1.- El tiempo que tarda la masa en dar una vuelta completa es de T = 1.51 s
Cuando tenemos un cuerpo que oscila es decir que da una vuelta completa o un amortiguamiento máximo a mínimo, podemos decir que el tiempo que tarda en este movimiento se defino como periodo.
La ecuación que define el problema de amortiguamiento es
X = A cos(ω t + Ф)
Donde:
ω = 2π/t y T es el periodo que requerimos
x(t) = (7.40 cm)cos[(4.16s⁻¹)t − 2.42]
ω = 4.16rad/s = 2π/T
T = 2π/4.16rad/s
T = 1.51 s
2.- La constante de elasticidad del resorte involucrado es de k = 25.95 N/m
Para poder obtener el valor de la constate de elasticidad de vamos a usar la ecuación que relaciona la elasticidad con el periodo, y esta es:
T = 2π√m/K vamos a despejar para encontrar la forma ω = 2π/T
1 = 2π/T √m/K
1 = ω √m/K
ω = 1/(√m/K)
ω² = k/m Como ya tenemos el valor de ω = 4.16rad/s
(4.16rad/s)² = k/1.5kg
k = 25.95 N/m
3.- La rapidez máxima que la masa adquiere es de V = 0.30 m/s
La rapidez máxima la determinamos con la ecuación de movimiento circular
ω = V/r pero en este caso en vez e radio tendremos amplitud, de modo que r =A = 7.40cm
V = ωA Sustituimos los valores
V = 4.16rads * 0.074m
V = 0.30 m/s
4.- La fuerza máxima que actúa sobre esta masa tiene un valor de F = 1.92 N
Para determinar el valor de la fuerza máxima que actúa sobre esta masa, aplicamos la ecuación de la segunda ley de newton, dada por la expresión:
F = ma
Necesitamos la aceleración
a = A ω² = 0.074m * (4.16rad/s)² = 1.28 m/s² sustituimos en la ecuación
F = 1.5kg * 1.28m/s²
F = 1.92 N
5.- En un tiempo de t = 1.00s la posición de la masa tiene un valor de:
x(t) = -1.968 cm
Para hallar la posición debeos sustituir el valor de este tiempo en la ecuación del movimiento amortiguado de este problema es decir sobre esta ecuación:
x(t) = (7.40 cm)cos[(4.16s⁻¹)t − 2.42]
Cuando ha transcurrido 1 segundo, la posición será: (t= 1s)
x(t) = (7.40 cm)cos[(4.16s⁻¹)(1s) − 2.42]
x(t) = -1.968 cm
6.- En un tiempo de t = 1.00s la rapidez de la masa es de:
v (t) = -0.3m/s
Para hallar la velocidad a partir de la ecuación del movimiento amortiguado, podemos de una forma directa derivar la ecuación de la posición, ya que la derivada dela misma es iguala la velocidad
v (t) = x'(t)
La rapidez se determina por la derivada del desplazamiento
v (t) = x'(t) = (7.40 cm)-Sen[(4.16s⁻¹)t − 2.42]*4.16
v(t) = -(7.40 cm*4.16)Sen[(4.16s⁻¹)*1 − 2.42]
v (t) = -30.3cm/s
v (t) = -0.3m/s
7.- La aceleración de la masa al cabo de un tiempo de 1 segundo es de:
a(t) = -0.2156m/s²
En el caso de la aceleración se mantiene la cadena de la regla matemática, esto quiere decir que la derivada de la velocidad es iguala la valor de la aceleración o la segunda derivada de la posición:
a(t) = v'(t) = x''(t)
Aceleración derivamos una vez mas
a(t) =x''(t) = (-7.40 cm)Cos[(4.16s⁻¹)t − 2.42]*4.16²
a (t) = -21.56cm/s²
a(t) = -0.2156m/s²
6.- Justo en este tiempo de t = 1.00s la fuerza máxima sobre la masa es de F = -0.323 N
La fuerza la determinamos de igual manera con la ecuación de la segunda ley de Newton, como en el inciso anterior determinamos la aceleración solo nos queda sustituir los valores en la ecuación:
F =ma
F = 1.5Kg * ( -0.2156m/s²)
F = -0.323 N
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