Una partícula con carga +q está en el origen Una partícula con carga -2q está en x=2.0 m sobre el eje x ¿Para qué valores finitos de x el potencial eléctrico es cero?
Respuestas
Respuesta:
Campo producido por un hilo rectilíneo cargado
En este apartado, vamos a deducir el campo producido en un punto P distante R, de una línea indefinida cargada con una densidad de λ C/m.
El campo eléctrico tiene simetría cilíndrica, por lo que solamente es necesario considerar un plano que contenga el hilo rectilíneo cargado.
Situamos el origen O en cualquier punto de hilo cargado, el campo producido por el elemento de carga dq, comprendido entre ξ y ξ+dξ, en el punto (0, y) tiene la dirección y el sentido indicado en la figura y su módulo es
d
E
=
1
4
π
ε
0
d
q
r
2
Este campo tiene dos componentes: una a lo largo del eje vertical Y y otra, a lo largo del eje horizontal X.
d
E
y
=
d
E
cos
θ
La componente horizontal X no es necesario calcularla ya que por simetría se anulan de dos en dos. El elemento de carga dq situado en x y el elemento de carga dq situado en –x producen campos cuyos módulos son iguales y cuyas componentes horizontales son iguales y opuestas. El campo total es la suma de las componentes verticales Y
ξ
=
y
⋅
tan
θ
d
ξ
=
y
cos
2
θ
d
θ
r
=
y
cos
θ
E
=
∞
∫
−
∞
d
E
y
=
∞
∫
−
∞
1
4
π
ε
0
λ
d
ξ
r
2
cos
θ
=
π
/
2
∫
−
π
/
2
1
4
π
ε
0
λ
y
d
θ
cos
2
θ
(
y
cos
θ
)
2
cos
θ
=
λ
4
π
ε
0
y
π
/
2
∫
−
π
/
2
cos
θ
d
θ
=
λ
2
π
ε
0
y
El campo tiene por dirección la perpendicular a la línea indefinida cargada, tal como se indica en la figura de la derecha.
Campo eléctrico y potencial producido por un segmento rectilíneo cargado
Sea una corriente rectilínea finita, de longitud 2l cargada con densidad uniforme λ C/m. Situamos el origen en el punto medio. Debido a la simetría cilíndrica del problema consideramos un plano XY que contiene la línea cargada, tal como semuestra en la figura
El campo producido por el elemento de carga dq, comprendido entre ξ y ξ+dξ, tiene la dirección y el sentido indicado en la figura y su módulo es
d
E
=
1
4
π
ε
0
d
q
r
2
Este campo tiene dos componentes: una a lo largo del eje vertical Y y otra, a lo largo del eje horizontal X.
d
E
x
=
d
E
sin
θ
,
d
E
y
=
d
E
cos
θ
Componente X
E
x
=
1
4
π
ε
0
l
∫
−
l
λ
d
ξ
r
2
sin
θ
=
1
4
π
ε
0
l
∫
−
l
λ
d
ξ
r
2
x
−
ξ
r
=
λ
4
π
ε
0
l
∫
−
l
(
x
−
ξ
)
d
ξ
(
(
x
−
ξ
)
2
+
y
2
)
3
/
2
Hacemos el cambio de variable, u=x-ξ, du=-dξ, la integral es inmediata
∫
(
x
−
ξ
)
d
ξ
(
(
x
−
ξ
)
2
+
y
2
)
3
/
2
=
−
∫
u
⋅
d
u
(
u
2
+
y
2
)
3
/
2
=
1
√
u
2
+
y
2
=
1
√
(
x
−
ξ
)
2
+
y
2
La componente X del campo eléctrico en el punto P (x,y) es
E
x
=
λ
4
π
ε
0
l
∫
−
l
(
x
−
ξ
)
d
ξ
(
(
x
−
ξ
)
2
+
y
2
)
3
/
2
=
λ
4
π
ε
0
⎛
⎜
⎝
1
√
(
x
−
l
)
2
+
y
2
−
1
√
(
x
+
l
)
2
+
y
2
⎞
⎟
⎠
Para x=0, Ex=0, debido a la simetría
Componente Y
E
y
=
1
4
π
ε
0
l
∫
−
l
λ
d
ξ
r
2
cos
θ
=
1
4
π
ε
0
l
∫
−
l
λ
d
ξ
r
2
y
r
=
λ
y
4
π
ε
0
l
∫
−
l
d
ξ
(
(
x
−
ξ
)
2
+
y
2
)
3
/
2
Hacemos el cambio de variable, u=x-ξ, du=-dξ
∫
d
ξ
(
(
x
−
ξ
)
2
+
y
2
)
3
/
2
=
−
∫
d
u
(
u
2
+
y
2
)
3
/
2
=
−
1
y
3
∫
d
u
(
(
u
y
)
2
+
1
)
3
/
2
Hacemos el cambio de variable
u
y
=
tan
θ
,
d
u
=
y
cos
2
θ
d
θ
Utilizamos las relaciones trigonométricas
cos
2
θ
=
1
1
+
tan
2
θ
,
sin
2
θ
=
tan
2
θ
1
+
tan
2
θ
Integramos y deshacemos los cambios de variable
−
1
y
3
∫
d
u
(
(
u
y
)
2
+
1
)
3
/
2
=
−
1
y
2
∫
cos
θ
⋅
d
θ
=
−
1
y
2
sin
θ
=
−
1
y
2
tan
θ
√
1
+
tan
2
θ
=
−
1
y
2
u
√
u
2
+
y
2
=
−
1
y
2
x
−
ξ
√
(
x
−
ξ
)
2
+
y
2
Explicación paso a paso:
Espero y te sirva