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Explicación paso a paso:
Sean a,b,c en R, tales que a² + b² + c² = ab + ac + bc. Entonces
(a²+b²+c²)²=(ab+ac+bc)².
Por otra parte, para toda a,b,c en R, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, para toda a,b,c en R, (a²+b²+c²)(b²+c²+a²)≥(ab+bc+ca)² y (a²+b²+c²)(b²+c²+a²)=(ab+bc+ca)² si y sólo si existe x en R, tal que ax+b=0 y bx+c=0 y cx+a=0. Pero como para toda a,b,c en R, ab+bc+ca=ab+ac+bc y (a²+b²+c²)²=(a²+b²+c²)(a²+b²+c²)=(a²+b²+c²)(b²+c²+a²), entonces
(a²+b²+c²)²=(ab+ac+bc)² si y sólo si existe x en R, tal que ax+b=0 y bx+c=0 y cx+a=0.
En resumen, (a²+b²+c²)²=(ab+ac+bc)² si y sólo si existe x en R, tal que ax+b=0 y bx+c=0 y cx+a=0 y (a²+b²+c²)²=(ab+ac+bc)². Luego, existe x en R, tal que ax+b=0 y bx+c=0 y cx+a=0. Entonces, (a+b+c)x=a+b+c, (a+b+c)(x-1)=0, a+b+c=0 o x-1=0.
Sea a+b+c=0 y como para toda a,b,c, (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc), 0=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc), pero a² + b² + c² = ab + ac + bc, 0=3(a²+b²+c²), a²+b²+c²=0 y dado que para toda x en R, x²≥0, a=b=c=0.
Sea x-1=0 y dado que ax+b=0 y bx+c=0 y cx+a=0, -a+b=0 y -b+c=0 y -c+a=0, a=b=c.
Así, pues, tanto si a+b+c=0 como si x-1=0, a=b=c. Entonces, si a² + b² + c² = ab + ac + bc, entonces a=b=c. Lo que completa la prueba.