Question

Ayuda con integrales!

$\int\ {(tan2x + cot2x)^2} \, dx$

El resultado es -cot(4x) + C

Answer 1

Tienes,

$\displaystyle\int{(\tan(2x)+\cot(2x))^{2} } dx$

podemos primer hacer una sustitución,

$u=2x \\ du=2dx \\ dx=\displaystyle \frac{du}{2}$

entonces,

$\displaystyle\int{(\tan(u)+\cot(u))^{2} } \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int{(\tan(u)+\cot(u))^{2} } du$

pero sabemos que
$\displaystyle \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \\ \cot(x)= \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$

entonces,

$\displaystyle\frac{1}{2}\int{\left( \frac{\sin(u)}{\cos(u)}+ \frac{\cos(u)}{\sin(u)} \right)^{2} } du=\frac{1}{2}\int {\left( \frac{\sin^{2}(u)+\cos^{2}(u) }{\sin(u)\cos(u)}\right)^{2} } du$

pero sabemos que

$\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x) =1$

entonces,

$\displaystyle\frac{1}{2}\int{ \left(\frac{1}{\sin(u)\cos(u)}\right)^{2} } du=\frac{1}{2}\int{ \left(\frac{1}{\sin(u)\cos(u)}\right)\left(\frac{1}{\sin(u)\cos(u)}\right) } du$

ahora podemos multiplicar por un número inteligentísimo, si multiplicamos a cualquier cosa por uno, no cambie ¿verdad?, y estás de acuerdo que $\displaystyle \frac{4}{4} =1$ entonces si multiplico por éste valor no pasa nada, bien,

 $\displaystyle \frac{1}{2} \int{ \frac{4}{4} \left(\frac{1}{\sin(u)\cos(u)}\right)\left(\frac{1}{\sin(u)\cos(u)}\right)} =... \\ \\ \frac{4}{2} \int{ \left(\frac{1}{2\sin(u)\cos(u)}\right)\left(\frac{1}{2\sin(u)\cos(u)}\right)}$

pero sabemos que,

$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$

entonces,

$\displaystyle2\int{\left(\frac{1}{\sin(2u) }\right)\left(\frac{1}{\sin(2u) }\right)}du$

pero sabemos que,

$\displaystyle \frac{1}{\sin(x)} =\cos(x)$

equis puede ser cualquier ángulo por supuesto, entonces

$2\displaystyle\int{\csc(2u)\csc(2u)} du=2\int{\csc^{2} (2u)} du$

ahora podemos hacer una sustitución,,

$w=2u \\ dw=2du \\ du\displaystyle= \frac{dw}{2}$

entonces,

$\displaystyle2\int{\csc^{2}(w) } \frac{dw}{2} =\int{\csc^{2}(w)} dw$

y esa ya es una integral directa, que es justamente la solución que tienes tu

$\displaystyle\int{\csc^{2}(w)} dw=-\cot(w)+C$

ahora solo te queda volver a la variable original...

te recomiendo que desmuestres esa integral directa no es muy complicada¡...demuestrale y ahí si te puedes dar gusto de poner el resultado directo


 
s