Manuel acaba de comprar una caja de colores y antes de sacarles punta se pone a jugar con ellos. El se da cuenta de que puede medir el ancho del mueble de su computadora, la altura de su mesita de noche y el largo de la mesa del comedor con un numero exacto de colores. Toma una cinta metrica y halla estas tres medidas que son 80 cm, 48 cm y 112 cm.
a) ¿Cual puede ser la longitud de los colores sitodos tienen igual longitud?
b) ¿Cual es la mayor longitud posible de cada color
Respuestas
Respuesta:
1) 16/n cm, siendo "n" un número natural cualquiera.
2) 16 cm
Explicación paso a paso:
Todos los colores tienen igual longitud, por tanto el número de colores para formar cada medida está en la misma proporción que dichas medidas. Es decir, que si las medidas son, 80 cm, 48 cm y 112 cm, y el número de colores para formar cada medida es a, b y c respectivamente, entonces podemos decir:
a, b, c están en la misma proporción que 80, 48 y 112
Si dividimos esos números por su máximo común divisor, obtenemos la misma proporción pero reducida al mínimo.
MCD de 80, 48 y 112 = 16
=> a, b, c están en la misma proporción que 5, 3 y 7
Por supuesto a, b y c son números naturales, pues es el número de colores para formar cada medida; sin embargo la longitud de cada color no tiene por qué ser un número natural.
Además "a" debe ser un múltiplo de 5, pues si no lo fuera entonces el resto de colores necesitaría un número fraccionario de colores para conseguir la proporción 5, 3, 7 que hemos encontrado. Lo mismo podríamos decir para las otras medidas: "b" debe ser múltiplo de 3 y "c" debe ser múltiplo de 7.
a) Fijándonos en una medida particular, tenemos que "a" debe ser un múltiplo de 5; por tanto la medida de los colores para formar los 80 cm y, por tanto, la medida de todos los colores, responde a la forma:
longitud = 80 / (5n)
=> longitud = 16/n cm
Siendo "n" un número natural cualquiera
Dando valores a "n" encontramos las diferentes longitudes que pueden tener los colores. Lógicamente encuentras el mismo resultado si te fijas en los 48 cm: 48 / (3n) = 16/n o en los 112 cm: 112 / (7n) = 16/n.
b) La mayor longitud posible se da para n = 1:
16/1 = 16 cm