Question

El entero positivo n y el primo p cumplen que p no divide a (3n)! pero si divide a
(3n + 1)! + (3n + 2)!.
Mostrar que 3 divide a p − 1

Answer 1

Vamos a desarrollar la expresión E que p divide:

$E=(3n+1)!+(3n+2)!\\\\ E=(3n+1)(3n)!+(3n+2)(3n+1)(3n)!\\\\ E=(3n)![(3n+1)+(3n+2)(3n+1)]\\\\ E=(3n)![3n+1+9n^2+9n+2]\\\\ E=(3n)!(9n^2+12n+3)\\\\ E=3(3n)!(3n^2+4n+1)\\\\ E=3(3n)!(n+1)(3n+1)$

Como p divide E, pero no divide (3n)! (consquentemente p > 3n, porque p es primo y no divide cualquier número igual o menos de 3n), entonces p divide (n+1) o (3n+1).

Sabemos que p > 3n, luego p divide 3n+1. Por la misma razón debemos tener p=3n+1.

Por lo tanto:

$p=3n+1\\\\ 3n=p-1\\\\ n=\dfrac{p-1}{3}$

Tenemos que n es un entero, entonces 3 divide p-1. $~~\blacksquare$