Question

En una progresión aritmética cómo puedo calcular a1? Es decir el primer término?

Answer 1

Haber, en primer lugar has de saber que el primer término es una cosa y la diferencia (o razón de la progresión) otra. 

Que quieres buscar el primer término o la diferencia? 

Mira, como creo que no lo tienes claro, voy a buscarte las dos cosas. Te parece bien? 

La fórmula para encontrar el término general de una progresión aritmética es: 

an = a1+(n-1)d 

Siendo: 

an = cualquier término 
a1 = al primer término 
n = número de términos 
d = diferencia de la progresión (razón) 

Si conocieramos el valor de la diferencia d, podríamos emplear la fórmula, pero como no lo conocemos..... luego tenemos que plantear un sistema de ecuaciones. 

Has de saber que en una progresiób aritmética: 

a1 = a1 
a2 = a1+d 
a3 = a2+d = a1+2d 
a4 = a3+d = a1+3d 

y así llegariamos a: 

a7 = a6+d = a1+6d 
a15 = a14+d = a1+14d 

Es decir: 

a7 = a1+6d (*) 
a15 = a1+14d 

Como conocemos los valores de a7 y de a15, vamos a plantear un sistema de ecuaciones: 

a7 = 6 
a15 = 10 

Luego: 

6 = a1+6d.......(1) 
10 = a1+14d....(2) 

Despejando a1 en ambas: 

a1 = 6-6d 
a1 = 10-14d 

Igualandolas: 

6-6d = 10-14d 

De donde: 

8d = 4 

d = 4/8 = 0,5 Sustituyendo este valor en cualquiera de la ecuaciones (1) o (2), (por ejemplo en (1): 

6 = a1+6d.......(1) 

6 = a1+6(0,5) 

6 = a1+3 

a1 = 6-3 

a1 = 3 

NOTA.- Si hubíeramos tenido el valor de a1 podríamos buscar el valor de d y al revés 

Por ejemplo nos dan los datos: 

a7 = 6 
a15 = 10 
a1 = 3 
d = ? 

Se trata de buscar la diferencia. Entonces recurriendo a la fórmula del término general 
haríamos: 

an = a1+(n-1)d 

El témino n = 7 (o el término n = 15 es igual) 

Luego la fórmula se convierte en: 

a7 = a1+(7-1)d 

a7 = a1+(6)d 

a7 = a1+6d Fíjate que hemos llegado al mismo sitio que (*) 

Luego sutituyendo a7 y a1 por sus valores: 

6 = 3+(6)d 

6 = 3+6d 

d = (6-3)/6 

d = 3/6 = 0,5 

Ahora supongamos que nos dan: 

a7 = 6 
a15 = 10 
d = 0,5 
a1 = ? 

Se trata de buscar a1, recurriendo otra vez a la fórmula: 

an = a1+(n-1)d 

El témino n = 7 (o el término n = 15 es igual) 

Luego la fórmula se convierte en: 

a7 = a1+(7-1)d 

a7 = a1+(6)d 

a7 = a1+6d 

Luego sustituyendo a7 y d por sus valores: 

6 = a1+6(0,5) 

6 = a1+3 

a1 = 6-3 

a1 = 3 

Y ya está, esperando que se haya entendido, recibe un saludo y hasta la próxima