Question

Calcular el area de la region encerrada por:

x ² + y ² = x

la rpta es : π/4 u²

Answer 1

Haber, la ecuación de la circunferencia con centro distinto del centro, es:

$(x-h)^{2}+(x-k)^{2}= r^{2}$

donde: $(h,k)$ son las coordenadas del centro, entonces, vamos...

$x^{2} + y^{2} =x \\ (x^{2} -x) +y^{2} =0 \\ \\ \textrm{Lo que esta dentro del parentesis es donde debemos completar}$

si te das cuenta lo que está dentro del paréntesis tiene la estruccutra de la ecuación cuadrática es decir,

$ax^{2} +bx+c$

en nuestro ejericio idenificamos $a=1,b=-1$

para completar el cuadrado debemos aumentar un cero inteligente definido por

 $\displaystyle\left( \frac{b}{2a} \right)^{2}-\left( \frac{b}{2a} \right)^{2}=0 \\ \\ \displaystyle\left( \frac{1}{2(1)} \right)^{2}-\left( \frac{1}{2(1)} \right)^{2}=0 \\ \\ \displaystyle\left( \frac{1}{2} \right)^{2}-\left( \frac{1}{2} \right)^{2}=0$

si aumentamos cero a cualquier cosa no se altera ¿verdad?, entonces,

$\displaystyle\left( x^{2} -x + \frac{1}{4} \right)-\frac{1}{4}+ y^{2} =0$

y lo está dentro del parétesis es un caso de factorización lllamado trinomiio cuadrado perfecto, entonces,

$\displaystyle\left(x- \frac{1}{2} \right)^{2} + (y-0)^{2} = \frac{1}{4}$

el segundo paréntesis está más que obvio ¿verdad?, solo lo puse para que te fijes que ahora, se parece mucho a la ecuación de la circunferencia dado el centro diferente del centro.

entnces identifcamos que $\displaystyle(h,k)=\left( \frac{1}{2},0 \right)$

y ese es el centro de la circuenferencia además nos falta ver el radio, para eso vemos la ecuación de la circuenferencia y decimos que

$\displaystyle r^{2} = \frac{1}{4} \\ \\ r= \frac{1}{2}$

listo ese el radio , entonces nos pide el área de la circuenferencia,

$\displaystyle A=\pi r^{2} \\ A=\pi\left( \frac{1}{2} \right)^{2} \\ \\ A= \frac{\pi}{4} u^{2}$

el signo u significa unidaddes, eso no importa¡

espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas