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Respuesta:
( log₂ ( x-1))^2 + log₂(x-1) = 6
La ecuación antes dada es una ecuación logarítmica y para solucionarla se debe usar una herramienta matemática llamada cambio de variable , a fin de facilitar la resolución de la ecuación dada con anterioridad y así tendremos que :
log₂(x-1) = g
Por lo que la ecuación anterior quedaría así :
g^2+g = 6
La nueva ecuación que se obtuvo al hacer uso del cambio de variable la solucionaremos mediante factorización :
g^2+g =6
Se resta 6 a ambos lados de la igualdad :
g^2+g-6 = 6-6
g^2+g-6 = 0
Factorización:
g^2+g-6 = 0
Se reescribe g a modo de suma o resta :
g = -2g+3g
Por lo que se obtiene :
g^2-2g+3g-6 = 0
Se factoriza a " g '' de la expresión :
g(g-2)+3g-6 = 0
Se factoriza a '' 3 '' de la expresión
g(g-2)+3(g-2) = 0
Se factoriza a " g-2 '' de la expresión :
(g-2)(g+3) = 0
Por lo tanto :
g1 = 2 y g2 = -3
Ahora , devolvemos el cambio de variable g = log (x-1) y de ese modo nos resulta que :
log₂(x-1) = 2 y que log₂(x-1) = -3
Ahora resolvemos para log(x-1) = 2
log₂(x-1) = 2
Hallamos el valor de x colocando a 2 como base de este logaritmo a ambos lados de la igualdad
2^(log₂(x-1)) = 2^(2)
Como consecuencia de lo hecho antes resulta que :
x-1 = 4
Adicionamos 1 a ambos lados de la igualdad :
x-1+1 = 4+1
Encontramos el primer valor de x :
x1 = 5
Solucionamos log₂(x-1) = -3
Log₂(x-1) = -3
Ponemos a 2 como base a ambos lados de la igualdad :
2^(log₂ (x-1)) = 2^(-3)
Por lo hecho antes tenemos que :
x-1 = 2^(-3) ; 2^(-3) = 1/((2)^3) y 1/((2)^3) = 1/8
De esa forma tenemos que :
x-1 = 1/8
Sumamos 1 a ambos lados de la igualdad :
x-1+1 = ( 1/8)+1 ; 1 = 8/8
x-1+1 = 1/8+8/8
Obtenemos el segundo valor de x :
x2 = 9/8
Comprobamos :
Comprobación con x1 = 5 :
(Log₂((5)-1))^2+log₂((5)-1) = 6
( Log₂(4))^2 + log₂(4) = 6
2^(2) + log₂(4) = 6
4 + 2 = 6
6 = 6
Comprobación con x2 = 9/8
(Log₂((9/8)-1))^2+log₂((9/8)-1) = 6
(Log₂(1/8))^2+log₂(1/8) = 6
((-3))^2+(-3) = 6
9+(-3) = 6
9 - 3 = 6
6 = 6
R// Por lo tanto x1 = 5 como x2 = 9/8 son las raíces o soluciones de la ecuacion logarítmica dada con anterioridad.
Espero ello te sea útil.
Saludos.
Explicación paso a paso: