Question

Dada una función real f(x), se define una raíz de f como el (los) valor (es) de x tal(es) que cumplen f(x)=0

1. El polinomio x3−2ax^2−37x+30a tiene una raíz positiva x=3a. Determine el valor de a y de las otras dos raíces.

Necesito prodecimiento porfavor

Answer 1

$f(x)=x^3-2ax^2-37x+30a$

Como x=3a es una raíz, f(3a)=0:

$f(3a)=(3a)^3-2a(3a)^2-37(3a)+30a\\\\ 0=27a^3-2a\cdot9a^2-111a+30a\\\\ 27a^3-18a^3-81a=0\\\\ 9a^3-81a=0\\\\ 9a(a^2-9)=0\\\\ 9a(a+3)(a-3)=0$

Entonces:

$9a=0~~o~~a+3=0~~o~~a-3=0\\\\ a=0~~~o~~a=-3~~~~~o~~a=3$

Según el enunciado, $3a>0\iff a>0$. Por lo tanto, $\boxed{a=3}$

Tenemos que $3a=3\cdot3=9$ es una raíz. Por consiguiente, (x-9) es un factor de f(x):

$f(x)=x^3-6x^2-37x+90\\\\ (x-9)(x^2+c_1x+c_0)=x^3-6x^2-37x+90\\\\ x^3+\underbrace{(c_1-9)}_{(iii)}x^2+\underbrace{(c_0-9c_1)}_{(ii)}x\underbrace{-9c_0}_{(i)}=x^3\underbrace{-6}_{(iii)}x^2\underbrace{-37}_{(ii)}x+\underbrace{90}_{(i)}\\\\\\ (i):~-9c_0=90\iff c_0=-10\\\\ (iii):~c_1-9=-6\iff c_1=3\\\\ (ii):~c_0-9c_1=-37\Longrightarrow -10-9\cdot3=-37\to Ok!\\\\\\ f(x)=(x-9)(x^2+3x-10)$

Si f(x)=0 y x≠9:

$x^2+3x-10=0\\\\\\ \Delta=b^2-4ac\\\\ \Delta=3^2-4\cdot1\cdot(-10)\\\\ \Delta=9+40\\\\ \Delta=49=7^2\\\\\\ x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-3\pm\sqrt{7^2}}{2\cdot1}=\dfrac{-3\pm7}{2}\\\\\\ x_1=\dfrac{-3+7}{2}\iff x_1=\dfrac{4}{2}\iff \boxed{x_1=2}\\\\ x_2=\dfrac{-3-7}{2}\iff x_2=\dfrac{-10}{2}\iff \boxed{x_2=-5}$

Las otras raíces son x=2 y x=-5.