Question

necesito que me ayuden haciendo el 1,4,5,9
Calcular el (lim)┬(x →0)⁡((sen(2x) - sin⁡x)/senx)
Calcular el (lim)┬(x →0)⁡((5x.cot⁡(3x))/(2 sec⁡(x) ))
Calcular el (lim)┬(x →0)⁡((3x^2 - 6 tan⁡(2x))/3x)
Calcular el (lim)┬(x → 2π/( 3))⁡((x + tan⁡x)/sin⁡x )

Answer 1

El resultado del primer límite es 1.

El resultado del segundo límite es $\frac{5}{6}$

El resultado del tercer límite es 4

El resultado del cuarto límite es $\frac{4\pi}{3\sqrt{3}}-2$

Explicación paso a paso:

1) Para calcular el límite podemos aplicar identidades trigonométricas para simplificar las funciones trigonométricas:

$\lim_{n \to 0} \frac{sen(2x)-sen(x)}{sen(x)}=\lim_{n \to 0} \frac{2sen(x)cos(x)-sen(x)}{sen(x)}=\lim_{n \to 0} \frac{sen(x)(2cos(x)-1)}{sen(x)}\\ \lim_{n \to 0} a_n \frac{sen(2x)-sen(x)}{sen(x)}=\lim_{n \to 0} 2cos(x)-1=1$

4) En este caso tenemos una operación entre funciones recíprocas, comenzamos poniéndolas en función de senos y cosenos para aplicar álgebra:

$\lim_{x \to 0} \frac{5x.cot(3x)}{2sec(x)}=\lim_{x \to 0} \frac{5x.\frac{cos(3x)}{sen(3x)}}{2\frac{1}{cos(x)}}=\lim_{x \to 0} \frac{5x.cos(3x).cos(x)}{2sen(3x)}\\\\cos(4x)=cos(3x).cos(x)-sen(3x).sen(x)=>cos(3x).cos(x)=cos(4x)+sen(3x).sen(x)$

Esta identidad la reemplazamos en el límite:

$\lim_{x \to 0} \frac{5x(cos(4x)+sen(3x).sen(x))}{2.sen(3x)}= \lim_{x \to 0} \frac{5x.cos(4x)}{2.sen(3x)}+\lim_{x \to 0} \frac{5x.sen(3x)sen(x)}{2.sen(3x)}=\\\\=\lim_{x \to 0} \frac{5x.cos(4x)}{2.sen(3x)}+\lim_{x \to 0} \frac{5x.sen(x)}{2}=\lim_{x \to 0} \frac{5x.cos(4x)}{2.sen(3x)}=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{5}{3}.3x.cos(4x)}{2.sen(3x)}=\\\\=\lim_{x \to 0} \frac{3x}{sen(3x)}\frac{\frac{5}{3}.cos(4x)}{2}$

$\lim_{x \to 0} \frac{3x}{sen(3x)}=1=>\lim_{x \to 0} \frac{3x}{sen(3x)}\frac{\frac{5}{3}.cos(4x)}{2}=\frac{5}{6}$

5) Este es otro límite que podemos resolver aplicando identidades trigonométricas y álgebra:

$\lim_{x \to 0} \frac{3x^2-6.tan(2x)}{3x}=\lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{3x}+\frac{6tan(2x)}{3x}=\lim_{x \to 0} \frac{6sen(2x)}{3xcos(2x)}=\\\\=\lim_{x \to 0} \frac{2sen(2x)}{xcos(2x)}=\lim_{x \to 0} \frac{4sen(2x)}{2xcos(2x)}\\\\\lim_{x \to 0}\frac{sen(2x)}{2x}=1=>\lim_{x \to 0}\frac{4sen(2x)}{2xcos(3x)}=4$

9) Para calcular este límite solo tenemos que reemplazar el valor de x en la expresión ya que no hay indeterminación:

$\lim_{x \to \frac{2\pi}{3}} \frac{x+tan(x)}{sen(x)}=\frac{\frac{2\pi}{3}+tan(\frac{2\pi}{3})}{sen(\frac{2\pi}{3})}=\frac{\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4\pi}{3\sqrt{3}}-2$