Question

2) Halle la derivada de la siguiente funcion implícita. (x+y)3+ (x-y)3=
X4 +Y4
​

Answer 1

Respuesta:

$\frac{dy}{dx} =\frac{2x^3-3x^2-3y^2}{6xy-2y^3}$

Explicación paso a paso:

$(x+y)^3+(x-y)^3=x^4+y^4$

vamos a calcular   $\frac{dy}{dx}$:

$3(x+y)^2+3(x+y)^2\frac{dy}{dx} +3(x-y)^2-3(x-y)^2\frac{dy}{dx}=4x^3+4y^3\frac{dy}{dx}$

(vamos a reemplazar  $\frac{dy}{dx}$ por y' para simplificar un poco la expresión.)

Pasamos los términos que contienen  $\frac{dy}{dx}$  (de ahora en adelante y') al lado izquierdo de la igualdad quedando :

$3(x+y)^2y' -3(x-y)^2y'-4y^3y'=4x^3 -3(x+y)^2-3(x-y)^2$

factorizamos y' quedando:

$y'(3(x+y)^2-3(x-y)^2-4y^3)=4x^3-3(x+y)^2-3(x-y)^2$

resolvemos los valores que están al cuadrado:

$y'(3x^2+6xy-3y^2-3x^2+6xy-3y^2-4y^3)=4x^3-3x^2-6xy-3y^2-3x^2+6xy-3y^2$

simplificamos:

$y'(12xy-4y^3)=4x^3-6x^2-6y^2$

despejamos y' quedando:

$y'=\frac{4x^3-6x^2-6y^2}{12xy-4y^3}$

sacamos mitad en numerador y denominador:

$y'=\frac{2x^3-3x^2-3y^2}{6xy-2y^3}$

reemplazando de nuevo y' por  $\frac{dy}{dx}$  nos queda:

$\frac{dy}{dx} =\frac{2x^3-3x^2-3y^2}{6xy-2y^3}$