Question

Un bote que se encuentra a 36 metros del pie de un faro, observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 45 ¿Cuánto debe acercarse el bote para que el nuevo ángulo de elevación sea 53?


ayuda porfaaaaaaaaaaaaa

Answer 1

El bote debe acercarse 9 metros para que el nuevo ángulo de elevación sea de 53°

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde los triángulos de 45-45 y 37-53 resultan lo que se denomina un triángulo notable

Representamos la situación del problema en dos triángulos rectángulos:

El ADC: el cual está conformado por el lado CD que equivale a la altura del faro, -donde este cateto es el mismo para ambos triángulos-, el lado AC que representa la distancia sobre el agua desde el bote -ubicado en el primer punto de avistamiento- hasta el pie del faro -donde conocemos el valor de esa distancia - a la cual llamaremos distancia 1-, y el lado AD es la longitud visual desde el bote -el cual se encuentra en cierto punto de observación- hasta la parte superior del faro la cual es vista con un ángulo de elevación de 45°

El BCD: el cual está configurado por el lado CD que equivale a la altura del faro, el lado BC que es la distancia sobre el plano del agua desde el bote- localizado en el segundo punto de avistamiento o de observación- hasta el pie del faro. Esta distancia es de valor desconocido y la llamamos distancia 2. Y por último tenemos el lado DB que equivale a la longitud visual desde el bote -ubicado en el nuevo punto de avistamiento- hasta la parte superior del faro la cual es vista con un ángulo de elevación de 53°

Donde se pide hallar:

Cuánto debe acercarse el bote -desde el primer punto de avistamiento- para que el nuevo ángulo de elevación sea de 53°

Llamando a la distancia de acercamiento al nuevo punto "x"

El valor de "x" resulta en una resta de distancias entra la distancia conocida 1 y la distancia 2 que debemos calcular

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Siendo la altura "h" del faro el cateto opuesto a los ángulos dados y en donde las diferentes distancias desde el bote hasta el pie del faro son los catetos adyacentes de los respectivos ángulos de elevación

Por tanto emplearemos la razón trigonométrica tangente para determinar la incógnita

Razones trigonométricas con ángulos notables

En ACD

Hallamos la altura h del faro

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α  $\bold{\alpha = 45^o }$

Como el triángulo es notable y de 45° los 2 catetos miden lo mismo, pudiendo aseverar que la altura del faro será igual que la distancia 1 desde el bote -ubicado en el primer punto de avistamiento- hasta el pie del faro

Los cálculos nos darán la razón

$\boxed{\bold { tan(45^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(45^o)= \frac{ altura \ faro }{ distancia \ 1 } } }$

$\boxed{\bold { altura \ faro = distancia \ 1 \ . \ tan(45^o) } }$

$\boxed{\bold {altura \ faro = 36\ m \ . \ tan(45^o) } }$

$\boxed{\bold {altura \ faro= 36\ m \ . \ 1 } }$

$\large\boxed{\bold { altura \ faro = 36 \ metros } }$

La altura del faro es de 36 metros

En BCD

Hallamos la distancia 2- desde el bote -ubicado en el segundo punto de avistamiento- hasta el pie del faro-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β  $\bold{\beta = 53^o}$

$\boxed{\bold { tan(53^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(53^o) = \frac{ altura \ faro }{ distancia \ 2 } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ 2 = \frac{ altura \ faro }{ tan(53^o) } } }$

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 53 grados es } \bold{ \frac{4}{3} }$

$\boxed{\bold { distancia \ 2 = \frac{36 \ m }{ \frac{4 }{3} } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ 2 = 36 \ m \ . \ \frac{3}{4 } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ 2 = \frac{108}{4 } \ m } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ 2 = 27 \ metros } }$

La distancia 2 -desde el bote -ubicado en el nuevo punto de avistamiento- hasta el pie del faro es de 27 metros-

Determinamos cuánto debe acercarse el bote -desde el primer punto de avistamiento- para un nuevo ángulo de elevación de 53°

$\boxed{\bold { x = distancia \ 1\ -\ distancia \ 2 } }$

$\boxed{\bold { x= 36 \ m -\ 27 \ m } }$

$\large\boxed{\bold { x = 9 \ metros } }$

El bote debe acercarse 9 metros para que el nuevo ángulo de elevación sea de 53°

Se agrega gráfico para mejor comprensión del ejercicio propuesto