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Para calcular la longitud de arco, se puede aplicar la integración, aplicando la siguiente formula.
L = \int\limits^a_b { \sqrt{1+ (f'(x))^{2} } } \, dx
b
∫
a
1+(f
′
(x))
2
dx
Sabiendo que f(x) = 4x³/² conseguimos a f'(x) aplicando derivadas.
f'(x) = 4·3/2 · X ³/² ⁻ ¹
f'(x) = 6√x
Como f'(x) esta en función de la variable x, se tomaran como limite de integración las coordenadas de la variable x.
Aplicando la ecuación de la integral, tenemos:
L = \int\limits^1_0 { \sqrt{1+(6 \sqrt{x} )^2} } \, dx
0
∫
1
1+(6
x
)
2
dx
Simplificamos:
L = \int\limits^1_0 { \sqrt{1+36x} } \, dx
0
∫
1
1+36x
dx
Para resolver esta integral aplicaremos un cambio de variable:
1+36x = w²
Diferenciamos ambos lado de la ecuación ( se deriva ambos lados) :
36 dx = 2w dw ∴ dx = 2w/36 dw
Introducimos el cambio en la integral y resolvemos:
\int { \sqrt{w^2} } \, * 1/18*wdw = 1/18 \int {w^2} \, dw = (1/18)*( w^{3} /3)∫
w
2
∗1/18∗wdw=1/18∫w
2
dw=(1/18)∗(w
3
/3)
Devolvemos el cambio de variable y tenemos:
I = I = 1/54( \sqrt{1+36x})^3I=1/54(
1+36x
)
3
Evaluamos la integral en limite superior menos limite inferior
I = I = 1/54( \sqrt{1+36(1)})^3 - 1/54( \sqrt{1+36(0)})^3 = 4.15 uI=1/54(
1+36(1)
)
3
−1/54(
1+36(0)
)
3
=4.15u
La longitud del arco es de 4.15 unidades de longitud.
Explicación paso a paso:
hola espero que te ayude por favor coronita