Question

El movimiento de una partícula de masa m se define por medio de las
coordenadas cilíndricas R= A /( t +1), Ө= B.t y z= C.t/(t+1). Determine
las componentes de la fuerza total que interactúa sobre la partícula-

Answer 1

Las componentes de la fuerza que actúa sobre la partícula son:

$F_x=m\frac{d^2x}{dt^2}=m(\frac{2A}{(t+1)^3}-\frac{AB^2}{t+1})cos(Bt)+\frac{2mAB}{(t+1)^2}.sen(Bt)\\\\F_y=m\frac{d^2y}{dt^2}=m(\frac{2A}{(t+1)^3}-\frac{AB^2}{t+1})sen(Bt)-\frac{2mAB}{(t+1)^2}.cos(Bt)\\\\F_z=-m\frac{C}{(1+t)^3}$

Explicación:

Comenzamos pasando las coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas:

$x=R.cos(\theta)=\frac{A}{t+1}.cos(Bt)\\\\y=R.sen(\theta)=\frac{A}{t+1}.sen(Bt)\\\\z=\frac{Ct}{t+1}$

Con esto tenemos las componentes cartesianas de la posición de la partícula en función del tiempo, aplicando la segunda ley de Newton tenemos:

$F=m.a=m\frac{d^2x}{dt^2}$

Por lo que debemos derivar dos veces cada una de las componentes en función del tiempo, así la derivada segunda de x es:

$\frac{dx}{dt}=\frac{-A}{(t+1)^2}.cos(Bt)-\frac{A}{t+1}.B.sen(Bt)\\\\\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{2A}{(t+1)^3}.cos(Bt)+\frac{AB}{(t+1)^2}.sen(Bt)+\frac{AB}{(t+1)^2}.sen(Bt)-\frac{AB^2}{t+1}.cos(Bt)\\\\\frac{d^2x}{dt^2}=(\frac{2A}{(t+1)^3}-\frac{AB^2}{t+1})cos(Bt)+\frac{2AB}{(t+1)^2}.sen(Bt)$

La derivada segunda de 'y' es:

$\frac{dy}{dt}=\frac{-A}{(t+1)^2}.sen(Bt)+\frac{AB}{t+1}.cos(Bt)\\\\\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{2A}{(t+1)^3}.sen(Bt)-\frac{AB}{(t+1)^2}.cos(Bt)-\frac{AB}{(t+1)^2}.cos(Bt)-\frac{AB^2}{t+1}.sen(Bt)\\\\\frac{d^2y}{dt^2}=(\frac{2A}{(t+1)^3}-\frac{AB^2}{t+1}).sen(Bt)-\frac{2AB}{(t+1)^2}.cos(Bt)$

Y la derivada segunda de z es:

$\frac{dz}{dt}=\frac{C(t+1)-Ct}{(t+1)^2}=\frac{C}{(1+t)^2}\\\\\frac{d^2z}{dt^2}=-\frac{2C}{(1+t)^3}$

Por lo que las componentes de la fuerza sobre la partícula son:

$F_x=m\frac{d^2x}{dt^2}=m(\frac{2A}{(t+1)^3}-\frac{AB^2}{t+1})cos(Bt)+\frac{2mAB}{(t+1)^2}.sen(Bt)\\\\F_y=m\frac{d^2y}{dt^2}=m(\frac{2A}{(t+1)^3}-\frac{AB^2}{t+1})sen(Bt)-\frac{2mAB}{(t+1)^2}.cos(Bt)\\\\F_z=-m\frac{C}{(1+t)^3}$