Question

Una empresa requiere fabricar un recipiente rectangular para almacenamiento, con la parte superior abierta, el cual debe tener un volumen de 1.4 m3. El largo de su base es el doble del ancho.
a) determine la función que represente el área del material del envase, con respecto a las dimensiones “x” y “y”.
b) determine la función que represente el área del material del envase, con respecto solo a la variable “x”.
c) realice la gráfica de la función anterior.
d) Encuentre las dimensiones “x” y “y” para tener el más barato de esos recipientes (las dimensiones que minimicen la cantidad de material para formar el envase).

Answer 1

a) Área con respecto a x e y

1) Área de la base: x*2x = 2x^2

2) Área de dos lados: 2 * (2x)(y) = 4xy

3) Área de los otros dos lados: 2 * (x)(y) = 2xy

4) Área total = suma del área de los 5 lados: 2x^2 + 4xy + 2xy = 2x^2 + 6xy

Respuesta de la parte a) 2x^2 + 6xy

b) Área con respecto solo a la variable x.

Para ellos debes relacionar la variable y con la variable x.

Esa relación la encuentras a partir de la expresión y el dato dado para el volumen.

El volumen es el área de la base por la altura, es decir (2x^2)*y

Y eso es igual a 1.4 m^3, por tanto: 2(x^2)y = 1.40 => y = 1.4 / [2(x^2)]  = 0.7 / (x^2)

A partir de allí, el área total es 2(x^2) + 6xy = 2(x^2) + 6x(0.7) / (x^2) =

= 2(x^2) + 4.2 / x

Respuesta de la parte b) 2(x^2) + 4.2 / x 

c) Para dibujar la gráfica  puedes hacer una tabla, dando distintos valores a x y hallar su imagen/

Puedes usar estos datos:

x             2x^2 + 4.2/x

0,1          42,02

0,5          8,9

1             6,2

1,5          7,3

2             10,1

2,5          14,18

3             19,4

3,5          25,7

4             33,05

d) Para hallar el punto de mínimo material derivas la función del área e igualas a cero:

derivada de 2(x^2)  + 4.2 / x  = 4x - 4.2 / (x^2) = 0

=> 4x^3 - 4.2 = 0

4x^3 = 4.2

x^3 = 4.2/4 = 1.05 => x = 1.016

=> y = 1.4 / 1.016 = 1.378

Respuesta parte c) x = 1.016,m y = 1.378m lo cual es práctimamente 1 y 1.4