Sean las circunferencias C1 y C2 tangentes exteriores en el punto (6, 9) con radios 5 y
r > 0
respectivamente. Si la recta L pasa por el punto (4, −6) y es tangente solamente a C2 en el
punto (24, 9), determinar las ecuaciones de C1 y C2.
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Respuestas
Las ecuaciones de las circunferencias son:
y
Explicación paso a paso:
Si la recta L pasa por el punto (4,-6) y es tangente solo a C2 en (24,9), podemos ir hallando la ecuación de esa recta tangente:
con lo que la recta tangente es , y la recta M que pasa por el centro de C2 será perpendicular a L en ese punto:
.
Ahora bien, de la circunferencia sabemos que pasa por A(24,9) y B(6,9). Podemos hallar la recta N que pasa por el punto D que es el punto medio de la cuerda AB y será perpendicular a ella, o sea al vector . Siendo D:
Entonces dicha recta es:
El cruce entre M y N es el centro de C2:
Con lo cual, la ecuación de C2 es:
Con lo cual la ecuación de C2 es
Ahora bien, si las circunferencias son tangentes externas en (6,9), el segmento que une a los dos centros pasa por ese punto, podemos definir el vector v:
De módulo 15, también otro vector w de módulo 5 (porque C1 tiene radio 5) que sería
Sumando este último al punto (6,9) tenemos el centro de C1:
Entonces, la ecuación de la circunferencia C1 es
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