Question

Sean las circunferencias C1 y C2 tangentes exteriores en el punto (6, 9) con radios 5 y
r > 0
respectivamente. Si la recta L pasa por el punto (4, −6) y es tangente solamente a C2 en el
punto (24, 9), determinar las ecuaciones de C1 y C2.

Answer 1

Las ecuaciones de las circunferencias son:

$C_1:(x-3)^2+(y-5)^2=25$ y $C_2: (x-15)^2+(y-9)^2=225$

Explicación paso a paso:

Si la recta L pasa por el punto (4,-6) y es tangente solo a C2 en (24,9), podemos ir hallando la ecuación de esa recta tangente:

$v_D=(24-4,9-(-6))=(20,15)=(4,3)$

con lo que la recta tangente es $L:(x,y)=(24,9)+\lambda(4,3)$, y la recta M que pasa por el centro de C2 será perpendicular a L en ese punto: $M:(x,y)=(24,9)+\lambda(-3,4)$.

Ahora bien, de la circunferencia sabemos que pasa por A(24,9) y B(6,9). Podemos hallar la recta N que pasa por el punto D que es el punto medio de la cuerda AB y será perpendicular a ella, o sea al vector $(24-6,9-9)=(18,0)=(1,0)$. Siendo D:

$D=(\frac{24+6}{2},\frac{9+9}{2})=(15,9)$

Entonces dicha recta es:

$N:(x,y)=(15,9)+\lambda(0,1)$

El cruce entre M y N es el centro de C2:

$15=24-3\lambda\\9+\lambda_1=9+4\lambda\\\\\lambda=3\\\\C_2=(24,9)+3(-3,4)=(15,21)$

Con lo cual, la ecuación de C2 es:

$C_2:(x-15)^2+(y-21)^2=r^2\\\\(6,9)\in C_2=>(6-15)^2+(9-21)^2=r^2\\(6-15)^2+(9-21)^2=225$

Con lo cual la ecuación de C2 es $(x-15)^2+(y-9)^2=225$

Ahora bien, si las circunferencias son tangentes externas en (6,9), el segmento que une a los dos centros pasa por ese punto, podemos definir el vector v:

$v(6-15,9-21)=(-9,-12)$

De módulo 15, también otro vector w de módulo 5 (porque C1 tiene radio 5) que sería $(\frac{-9}{3},\frac{-12}{3})=(-3,-4)$

Sumando este último al punto (6,9) tenemos el centro de C1:

$C_1=(6+(-3),9+(-4))=(3,5)$

Entonces, la ecuación de la circunferencia C1 es $C_1:(x-3)^2+(y-5)^2=25$