Question

Conjuntos generadores y Dependencia lineal.

1. Determine si el conjunto S genera a ℝ3: S = {(1, 1,0), (−2,0,1), (1, −4,4)}
2. Determine si el conjunto S es linealmente dependiente.
S = {(−2,6), (4,-12)}

Answer 1

Respuesta:

1. Sí.

2. No.

Explicación paso a paso:

1. Sean <x,y,z> en R³, luego:

(1/13)(4x+9y+8z)•(1, 1,0)+(1/13)(4y-4x+5z)•(−2,0,1)+(1/13)(x-y+2z)•(1, −4,4)=(x,y,z). Ya que:

(4/13)+(8/13)+(1/13)=1

(9/13)-(8/13)-(1/3)=0

(8/13)-(10/13)+(2/13)=0.

(4/13)-(4/13)=0

(9/13)+(4/13)=1

(8/13)-(8/13)=0

(-4/13)+(4/13)=0

(4/13)-(4/13)=0

(5/13)+(8/13)=1

Luego, existen a,b,c en R (a saber, c=(1/13)(x-y+2z), b=(1/13)(4y-4x+5z), a=(1/13)(4x+9y+8z)) tal que (x,y,z)=a•(1,1,0)+b•(-2,0,1)+c•(1,-4,4). Luego, S genera a ℝ³: S = {(1, 1,0), (−2,0,1), (1, −4,4)}.

2. No, ya que (4,-12)=-2•(2,-6).