En una función cuadrática y= ax²+bx+c, es decir positivo podemos decir que el vértice es un punto de mínimo.
Es verdadero o falso ???
Respuestas
Respuesta dada por:
1
Verdadero,
Sea el valor en x del vértice: -b/2a
Sea a> 0,
Sea r, un valor cualquiera del dominio de la función diferente del vértice.
f(-b/2a) = a(-b/2a)²+b(-b/2a)+c =- b²/4a + c
f(r) = ar²+br+c
Ahora, f(r) > f(b/2a) si f(r) - f(b/2a) > 0
ar²+br+c - (- b²/4a + c) > 0
ar²+br+b²/4a > 0
(4a²r² + 4abr + b²)/4a > 0
como a> 0, 4a > 0
4a²r² + 4abr + b² > 0
observamos un trinomio cuadrado perfecto,
4a²r² + 4abr + b² = (2ar + b)²
(2ar + b)² > 0
Donde este binomio al cuadrado siempre es mayor que cero siempre y cuando r no sea - b/2a, cuando r= - b/2a no se cumple la condición inicial.
Esto se puede notar:
2ar + b = 0,
r= -b/2a
Sea el valor en x del vértice: -b/2a
Sea a> 0,
Sea r, un valor cualquiera del dominio de la función diferente del vértice.
f(-b/2a) = a(-b/2a)²+b(-b/2a)+c =- b²/4a + c
f(r) = ar²+br+c
Ahora, f(r) > f(b/2a) si f(r) - f(b/2a) > 0
ar²+br+c - (- b²/4a + c) > 0
ar²+br+b²/4a > 0
(4a²r² + 4abr + b²)/4a > 0
como a> 0, 4a > 0
4a²r² + 4abr + b² > 0
observamos un trinomio cuadrado perfecto,
4a²r² + 4abr + b² = (2ar + b)²
(2ar + b)² > 0
Donde este binomio al cuadrado siempre es mayor que cero siempre y cuando r no sea - b/2a, cuando r= - b/2a no se cumple la condición inicial.
Esto se puede notar:
2ar + b = 0,
r= -b/2a
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