El beneficio marginal de cierta compañía está dado por:

B'(t)=10(x-20)e^(-x/20)

dólares por unidad cuando el nivel de producción es de x unidades. ¿Cuál será el beneficio implicado en incrementar la producción de 100 a 300 unidades?


villaastor92: respuesta imbox o instagram @yenkolyt n:930253349

Respuestas

Respuesta dada por: jaimitoM
9

Sabemos que el beneficio por el incremento de a unidades a b unidades está dado por:

{\displaystyle B = \int_a^b B'(t)dt}

{\displaystyle B=\int_{100}^{300}10(x-20)e^{-\frac{x}{20}}dx}

{\displaystyle B=10\int_{100}^{300}(x-20)e^{-\frac{x}{20}}dx}

{\displaystyle B=10\left( \int_{100}^{300}xe^{-\frac{x}{20}}dx-\int_{100}^{300}20e^{-\frac{x}{20}}dx\right)}

Resolvemos las integrales por separado:

{\displaystyle \int_{100}^{300} \:xe^{-\frac{x}{20}}dx}

Aplicamos integración por partes con u = x   y  v' = x/20

{\displaystyle = \left[\left[-20e^{-\frac{x}{20}}x\right]_{100}^{300}+\int_{100}^{300} \:20e^{-\frac{x}{20}}dx\right]}

Sustituimos:

{\displaystyle B(x)=10\left(\left[-20e^{-\frac{x}{20}}x\right]_{100}^{300}+\int_{100}^{300} \:20e^{-\frac{x}{20}}dx  -\int_{100}^{300}20e^{-\frac{x}{20}}dx\right)}

Note que las dos últimas integrales se cancelan y nos queda:

B= 10\cdot\left[-20e^{-\frac{x}{20}}x\right]_{100}^{300}

B=(-20e^{-\frac{300}{20}}\cdot300 + 20e^{-\frac{100}{20}}\cdot100)

\boxed{B = 10\left(\dfrac{2000}{e^5}-\dfrac{6000}{e^{15}}\right)\approx134.74}

R/ El beneficio implicado en el incremento de la producción es de 134.74 dólares.

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