Question

El beneficio marginal de cierta compañía está dado por:

B'(t)=10(x-20)e^(-x/20)

dólares por unidad cuando el nivel de producción es de x unidades. ¿Cuál será el beneficio implicado en incrementar la producción de 100 a 300 unidades?

Answer 1

Sabemos que el beneficio por el incremento de a unidades a b unidades está dado por:

${\displaystyle B = \int_a^b B'(t)dt}$

${\displaystyle B=\int_{100}^{300}10(x-20)e^{-\frac{x}{20}}dx}$

${\displaystyle B=10\int_{100}^{300}(x-20)e^{-\frac{x}{20}}dx}$

${\displaystyle B=10\left( \int_{100}^{300}xe^{-\frac{x}{20}}dx-\int_{100}^{300}20e^{-\frac{x}{20}}dx\right)}$

Resolvemos las integrales por separado:

${\displaystyle \int_{100}^{300} \:xe^{-\frac{x}{20}}dx}$

Aplicamos integración por partes con u = x   y  v' = x/20

${\displaystyle = \left[\left[-20e^{-\frac{x}{20}}x\right]_{100}^{300}+\int_{100}^{300} \:20e^{-\frac{x}{20}}dx\right]}$

Sustituimos:

${\displaystyle B(x)=10\left(\left[-20e^{-\frac{x}{20}}x\right]_{100}^{300}+\int_{100}^{300} \:20e^{-\frac{x}{20}}dx -\int_{100}^{300}20e^{-\frac{x}{20}}dx\right)}$

Note que las dos últimas integrales se cancelan y nos queda:

$B= 10\cdot\left[-20e^{-\frac{x}{20}}x\right]_{100}^{300}$

$B=(-20e^{-\frac{300}{20}}\cdot300 + 20e^{-\frac{100}{20}}\cdot100)$

$\boxed{B = 10\left(\dfrac{2000}{e^5}-\dfrac{6000}{e^{15}}\right)\approx134.74}$

R/ El beneficio implicado en el incremento de la producción es de 134.74 dólares.