Question

la siguiente grafica representa la relacion entre el area de una imagen proyectada en la pared y la distancia del proyector.cual es la relación algebraica de la gráfica? a)    ¿Cuál es el área de la imagen en la pantalla si el proyector se encuentra a una distancia de 5 m? ____________________________________________________b)    ¿A qué distancia deberá colocarse el proyector con respecto a la pantalla para que la imagen tenga un área de 4 m2? ______________________________________c)    ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área de la imagen proyectada en función de la distancia a que se coloca el proyecto? _________________________d)    ¿Cuál es el área de la imagen en la pantalla si el proyector se encuentra a una distancia de 5.5 m? _________________________________________________


Answer 1

El problema es buscar la expresión matemática de la curva. La curva al ser una función exponencial, tiene la siguiente expresión:


y = a*e^(bx)


El problema se centra en buscar a  y  b. Para ello, necesitamos dos puntos de la gráfica.


P1(7,2) y P2(5, 1)


Dichos puntos los obtuve de la gráfica anexada a la pregunta. Recuerda que un punto se expresa como P(x,y) donde x son los valores del eje de la Distancia (m) y y son los valores del eje del Área (m^2)


Sustituimos P1 en la ecuación:


2 = a*e^(7b)


a = 2 / e^(7b)  (1)


Sustituimos P2


1 = a*e^(5b)


a = 1 / e^(5b)   (2)


igualamos (1) y (2)


1 / e^(5b) = 2 / e^(7b)


e^(7b) = 2e^(5b)     (los divisores pasan multiplicando hacia el otro lado de la ecuac)


ln [e^(7b)] = ln [2e^(5b)]


7b = ln(2) + ln(e^5b)  ;  Recorda que ln(e)^x = x ln(e) = x*1 = x


7b = 0,69 + 5b


7b - 5b = 0,69    (Agrupación de términos semejantes)


2b = 0,69   (Suma algebraica de términos semejantes)


b = 0,69 / 2


b = 0,35


Sustituimos el valor de b en la ecuación (2)


a = 1 / e^(5*0,35)    (se multiplica el exponente de Euler)


a = 1 / e^(1,73)


a = 1 / 5,64


a = 0,18


La ecuación queda como:


y = (0,18) e^(0,35x)


Con la ecuación puedes responder las preguntas sustituyendo en x la distancia que te se_alan y calculando el área correspondiente en y


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Answer 2

El área de la imagen a una distancia de 5 metros es 1.00 m² a una distancia de 5.5 metros es 1.25 m² y para que se observe a un área de 4 m² se debe colocar a 10 metros

Debemos observar la gráfica para determinar los datos solicitadas

El área de la imagen en la pantalla si el proyector se encuentra a una distancia de 5 m: se observa si el eje "x" es 5, que visualizamos que es: 1.00 m²

Si queremos que el área sea de 4 m², observamos en la gráfica para que valor de x tenemos que y = 4 m², esto es para: 10 metros

Si el proyector se encuentra a una distancia de 5.5 metros entonces observamos en la gráfica y = 1.25 m²,

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