Question

Por medidas de precaución, dos bomberos se ubican a diferentes distancias de una casa que se está incendiando: uno se ubica a 15 m de la casa y el otro, a 20 m. De ese modo, se forma un triángulo entre ellos y la casa. Observa.

Answer 1

La distancia entre los bomberos esta entre los valores 10 y 30 metros.

Explicación:

Lo primero que hay que saber es que para resolver cualquier triángulo deben conocerse al menos un lado y otros dos elementos que puede ser  lados o ángulos, es decir, al menos tres elementos de los seis que forman un triángulo.  

Ahora bien, en el problema planteado tenemos solo dos lados conocidos y no podemos solución sino realizando algunas artimañas.

En consecuencia, vamos a considerar las siguientes condiciones y teoremas para resolver triángulos, y luego hagamos deducciones con las alternativas de respuestas presentadas.  

1.- La condición de que la suma de dos lados siempre es mayor que el otro lado, para resolver el triángulo en cuestión tenemos solo dos opciones de respuestas posibles entre las presentadas, la opción a y c, ya que b y d incluyen valores que superan el valor de 35 metros que es la suma de los lados conocidos.  

2.- Suma de ángulos de cualquier triangulo es 180 y los arco cosenos deben tener valores entre 1 y -1.

 

Entonces, con estos dos requisitos para la solución de triangulo podemos presentar un rango de posibles soluciones.  

Evaluemos el primer caso de las dos alternativas de solución que quedan:

Entre 3 y 30 metros

Vamos a suponer que la distancia entre los bomberos es 3 metros, entonces vamos a comprobar las condiciones anteriores.

- La primera se cumple, 3 es menor a 35.

- La segunda es más complicado de comprobar, procedemos de la siguiente manera

 

Aplicamos el teorema del coseno con la cual podemos resolver problema de un triangulo cualquiera.  

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A.

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos B.

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C.

Sustituyendo valores conocidos

(3) 2 = (15) 2 + (20) 2 − 2 (15) (20) cos A

(15) 2 = (3)  2 + (20) 2 − 2 (3) (20) cos B

(20) 2 = (3)  2 + (15) 2 − 2 (3) (15) cos C

Luego operando:

9 = 225 + 400 − 30 * 20 cos A

225 = 9 + 400 − 6 * 20 * cos B

400 = 9 + 225 − 6 * 15 cos C

Reduciendo términos

9 = 625 − 600 cos A

225 = 409 − 120 cos B

400 = 234 − 90 cos C

Operando y despejando

9 – 625  =  − 600 cos A

225 - 409 = − 120 cos B

400 - 234 =  − 90 * cos C

Luego queda

– 616  =  − 600 cos A

- 184 = − 120  cos B

166 =  − 690  cos C

Multiplicamos por (-1) la primera y segunda ecuación

616  =   600 cos A  

184 =  120  cos B  

166 =  − 690  cos C

Pasamos términos que multiplican al otros lado de la ecuación  

Cos A = 616 / 600      

Cos B = 184 / 120    

Cos C = - 166 / 690  

Despejamos los ángulos A,B y C y quedan sus respectivos arco cosenos

A = arco coseno (616 / 600)

B = arco coseno (184 / 120)

C = arco coseno (-166 / 690)

Resolviendo

A = arco coseno (1,026)  

B = arco coseno (1,53)  

C = arco coseno (-0,24)  

Claramente se ve que la suma de estos valores no resulta 180 grados, ya que el dominio de un arco coseno está comprendido entre -1 y 1, y el punto A y B esta fuera de ese rango.

 

Entre 10 y 30 metros

Vamos a suponer que la distancia entre los bomberos es 3 metros, entonces vamos a comprobar las condiciones anteriores.

- La primera se cumple, 3 es menor a 35.

- La segunda es más complicado de comprobar, procedemos de la siguiente manera

 

Aplicamos el teorema del coseno con la cual podemos resolver problema de un triangulo cualquiera.  

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A.

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos B.

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C.

Sustituyendo valores conocidos

(10) 2 = (15) 2 + (20) 2 − 2 (15) (20) cos A

(15) 2 =  (10) 2 + (20) 2 − 2 (10) (20) cos B

(20) 2 = (10) 2 + (15) 2 − 2 (10) (15) cos C

Luego operando:

100 = 225 + 400 − 30 * 20 cos A

225 = 100 + 400 − 20 * 20 * cos B

400 = 100 + 225 − 20 * 15 cos C

Reduciendo términos

100 = 625 − 600 cos A

225 = 500 − 400 cos B

400 = 325 − 300 cos C

Operando y despejando

100 – 625  =  − 600 cos A

225 - 500 = − 400 cos B

400 - 325 =  − 300 cos C

Luego queda

– 525  =  − 600 cos A

- 275= − 400  cos B

75 =  − 690  cos C

Multiplicamos por (-1) la primera y segunda ecuación

525  =   600 cos A

275=  400  cos B

75 =  − 690  cos C

Pasamos términos que multiplican al otros lado de la ecuación  

525 / 600  =   cos A  

275 / 400 =   cos B  

75 / 690 =  − cos C

Despejamos los ángulos A,B y C y quedan sus respectivos arco cósenos

A = arco coseno (525 / 600)

B = arco coseno (275 / 400)

- C = arco coseno (75 / 690)

Resolviendo

A = arco coseno (0,875)  

B = arco coseno (0,6875)  

C = arco coseno (-0,1086)  

Claramente se ve que el dominio de un arco coseno está comprendido entre -1 y 1, entonces, la solución esta entre 10 y 30 para el punto A.  

Ver también: https://brainly.lat/tarea/13130545