Question

El arquitecto Gómez, dirige el proyecto de remodelación del parque municipal del distrito La Esperanza. La forma del parque está representada por la ecuación polar r(5-3sensθ)=16. El arquitecto planea construir un camino que une los extremos de la parte más ancha del terreno y necesita saber la distancia que existe entre los extremos (considerar que las medidas están en cientos de metros), además en el centro del camino colocará una pileta. Por ello, se requiere obtener las coordenadas de los extremos y del centro en coordenadas rectangulares. Para ayudar al arquitecto Gómez a lograr su objetivo, se deberá seguir la siguiente estrategia:
-Pasar la ecuación polar a rectangular (en su forma ordinaria)
-Hallar el centro, los vértices de la parte más ancha del terreno en la forma rectangular y determinar la distancia entre los vértices (considerar que las medidas están en cientos de metros), utilizando la ecuación cartesiana, hallada en a).
-Graficar la cónica en el plano cartesiano ubicando las coordenadas de los vértices y del centro.

Answer 1

Veamos tenemos que:

r(5-3senθ)=16

Pero sabemos que

$r=\sqrt{x^2+y^2} \ \ \ \ \ \ y \ \ \ \ \ \ \sin\theta = \dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2} }$

Por tanto:

$\sqrt{x^2+y^2}\left(5-3\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) = 16$

$5\sqrt{x^2+y^2}-3y= 16$

$5\sqrt{x^2+y^2}= 16+3y$

$(5\sqrt{x^2+y^2})^2= (16+3y)^2$

$25(x^2+y^2)= 256+96y+9y^2$

$25x^2+25y^2-9y^2-96y-256= 0$

$25x^2+16y^2-96y-256= 0$

$25x^2+16(y^2-6y-16)=0$

$25x^2+16(y^2-6y+9-9-16)=0$

$25x^2+16(y-3)^2-16(25)=0 \longrightarrow\text{Divide entre 25}$

$x^2+\dfrac{16(y-3)^2}{25}-16=0 \longrightarrow\text{Divide entre 16}$

$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{(y-3)^2}{25}-1=0$

$\boxed{\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{(y-3)^2}{25}=1} \longrightarrow\text{Ecuacion Ordinaria de la Elipse}$

En general la ecuación de una elipse de centro (h,k) tiene la forma:

$\dfrac{\left(x-h\right)^2}{a^2}+\dfrac{\left(y-k\right)^2}{b^2}=1$

Deducimos de la ecuación hallada que:

• a = 4
• b = 5
• h = 0
• k = 3

Luego el centro será (0,3).

La distancia entre los vertices verticales es de 2b = 2(5) = 10 y entre los vertices horizontales 2a = 2(4) = 8 (Como están en cientos, las distancias reales son 1000 m y  800 m respectivamente).

Los vertices son los puntos de la elipse que intersecan al eje principal. Para una elipse con el eje mayor paralelo al eje y los vertices son:

$\:\left(h,\:k+b\right),\:\left(h,\:k-b\right)$

$\left(0,\:3+5\right),\:\left(0,\:3-5\right)$

$\left(0,\:8\right),\:\left(0,\:-2\right)$