4) Se desea construir un macetero en el frontis de un restaurante, como se muestra en la figura, que tenga 6 metros de largo. Determine el valor de x, de tal forma que el volumen sea máximo.
Respuestas
El volumen del macetero será máximo cuando x sea aproximadamente 1.73 metros.
Explicación paso a paso:
La función volumen (V) del macetero viene dada por el producto del área de la cara lateral en forma de trapecio y el largo. En la figura anexa se observa la fórmula de cálculo del volumen en función de x y h.
Para optimizar la función V necesitamos hallar el valor de h en función de x. Esto lo logramos despejando del Teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo que forman x y h con la cara inclinada del macetero.
Entonces la función volumen del macetero es:
Esta es la función objetivo del estudio de optimización, en este caso maximización.
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos el o los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de y.
Consideraremos solo el valor positivo, así que x aproximadamente 1.73 es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico considerado es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
x = 1.73 es un máximo de la función V.
El volumen del macetero será máximo cuando x sea aproximadamente 1.73 metros.
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