Un depósito de líquido caliente se coloca en un congelador que se mantiene a una temperatura constante de 25 °F. La temperatura inicial del líquido es 150 °F. Después de 10 minutos, la temperatura del líquido es 90 °F. ¿Cuánto será la temperatura después de 20 minutos?

Respuestas

Respuesta dada por: jaimitoM
6

La tempera después de los 20 minutos será de 58.8 °F

Se sabe por la ley de enfriamiento de Newton que:

\dfrac{dT}{dt} = k(T-T_m)

Donde:

  • T es la Temperatura
  • t es el tiempo
  • Tm es la temperatura ambiental

Podemos reacomodar y resolver usando el método de variables separables:

\dfrac{dT}{T-T_m} = k\cdot dt

Integrando:

{\displaystyle \int\dfrac{dT}{T-T_m} = \int k\cdot dt}

\ln (T-T_m) = kt + c_1

T-T_m = e^{kt+c_1}

T-T_m = e^{kt}e^{c_1}\text{\ \ \ \ si llamamos $C=e^{c_1}$ }

T-T_m = Ce^{kt}

\boxed{T(t)=T_m + Ce^{kt}}

Hallemos entonces las constantes analizando los datos iniciales. Tenemos:

  • T(0) =  150 °F
  • T(10) = 90 °F
  • Tm = 25 °F

Por tanto sabiendo que T(0) = 150 °F hallamos C:

150=25 + Ce^{k\cdot 0}

150=25 + C

C = 125

Sabiendo que T(10) = 90 °F hallamos k:

90 = 25+125e^{10k}

65= 125e^{10k}

0.52 = e^{10k}

10k = \ln 0.52

k = \dfrac{\ln 0.52}{10}

k = -0.065392647

Finalmente calculamos la temperatura a los 20 min sustituyendo t=20:

T(t)=25 + 125e^{-0.065392647t}

T(20)=25 + 125e^{-0.065392647\cdot 20}

\boxed{T(20) = 58.8\ ^\circ F}

R/ La tempera después de los 20 minutos será de 58.8 °F

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