Question

Un depósito de líquido caliente se coloca en un congelador que se mantiene a una temperatura constante de 25 °F. La temperatura inicial del líquido es 150 °F. Después de 10 minutos, la temperatura del líquido es 90 °F. ¿Cuánto será la temperatura después de 20 minutos?

Answer 1

La tempera después de los 20 minutos será de 58.8 °F

Se sabe por la ley de enfriamiento de Newton que:

$\dfrac{dT}{dt} = k(T-T_m)$

Donde:

• T es la Temperatura
• t es el tiempo
• Tm es la temperatura ambiental

Podemos reacomodar y resolver usando el método de variables separables:

$\dfrac{dT}{T-T_m} = k\cdot dt$

Integrando:

${\displaystyle \int\dfrac{dT}{T-T_m} = \int k\cdot dt}$

$\ln (T-T_m) = kt + c_1$

$T-T_m = e^{kt+c_1}$

$T-T_m = e^{kt}e^{c_1}\text{\ \ \ \ si llamamos C=e^{c_1} }$

$T-T_m = Ce^{kt}$

$\boxed{T(t)=T_m + Ce^{kt}}$

Hallemos entonces las constantes analizando los datos iniciales. Tenemos:

• T(0) =  150 °F
• T(10) = 90 °F
• Tm = 25 °F

Por tanto sabiendo que T(0) = 150 °F hallamos C:

$150=25 + Ce^{k\cdot 0}$

$150=25 + C$

$C = 125$

Sabiendo que T(10) = 90 °F hallamos k:

$90 = 25+125e^{10k}$

$65= 125e^{10k}$

$0.52 = e^{10k}$

$10k = \ln 0.52$

$k = \dfrac{\ln 0.52}{10}$

$k = -0.065392647$

Finalmente calculamos la temperatura a los 20 min sustituyendo t=20:

$T(t)=25 + 125e^{-0.065392647t}$

$T(20)=25 + 125e^{-0.065392647\cdot 20}$

$\boxed{T(20) = 58.8\ ^\circ F}$

R/ La tempera después de los 20 minutos será de 58.8 °F