Question

y^''+36y=0; y(π⁄6)=1 ;y’(6)=2

Answer 1

La solución de la ecuación diferencial es $y=-cos(6x)-\frac{1}{3}.sen(6x)$

Explicación paso a paso:

Esta ecuación es una ecuación diferencial homogénea a coeficientes constantes. Para hallar la solución lo que hacemos es proponer como solución:

$y=e^{\alpha.x}$.

Al reemplazar dicha expresión en la ecuación queda:

$\alpha^2.e^{\alpha.x}+36e^{\alpha.x}=0\\\\\alpha^2+36=0\\\alpha=\ñ6i$

La solución general es una combinación lineal de las soluciones posibles:

$y(x)=A.e^{6i.x}+B.e^{-6i.x}$

También tenemos los valores para hallar la solución particular:

$y(\frac{\pi}{6})=1=>A.e^{6i.\frac{\pi}{6}}+B.e^{-6i\frac{\pi}{6}}=1\\y'(\frac{\pi}{6})=2=>6i.A.e^{6i.\frac{\pi}{6}}-6i.B.e^{-6i.\frac{\pi}{6}}=2$

Aplicando la identidad de Euler queda:

$A.cos(\pi)+iA.sen(\pi)+B.cos(\pi)-iB.sen(\pi)=1\\\\-A-B=1\\\\6i.A.cos(\pi)+6i.A.sen(\pi)-6i.B.cos(\pi)+6i.B.sen(\pi)\\\\-6i.A+6i.B=2\\-3iA+3iB=1$

Y resolvemos el sistema de ecuaciones aplicando el método de la reducción:

$-3iA-3iB=3i\\-3iA+3iB=1\\\\Ec1+Ec2=>0-6iA=1+3i\\Ec1-Ec2=>-6iB=-1+3i\\\\A=-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}i\\B=-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}i$

Entones la solución queda:

$y=(-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}i).e^{6ix}+(-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}i).e^{-6ix}\\\\y=(-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}i).cos(6x)+(-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}i).i.sen(6x)+(-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}i).cos(6x)-(-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}i).i.sen(6x)\\\\(-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}i).cos(6x)+(-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}i).cos(6x)=-cos(6x)$

$(-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}i).i.sen(6x)-(-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}i).i.sen(6x)=-\frac{1}{3}.sen(6x)\\\\y=-cos(6x)-\frac{1}{3}.sen(6x)$