Question

Para los productos m y n de una cierta compañía, la función de costos conjuntos es
C=3/2 〖q_m〗^2+〖〖3q〗_n〗^2 y las funciones de demanda son p_m=60-〖q_m〗^2 y p_n=72-2〖q_n〗^2

Donde p_m y p_n son los precios de venta de los productos A y B respectivamente, además q_m y q_n son las cantidades que pueden venderse de los productos A y B respectivamente.
Entonces:
Halla los puntos críticos de la función utilidad
Determina la naturaleza de cada punto crítico, e indica el nivel de producción (q_m;q_n) que optimiza la utilidad

Answer 1

Los puntos críticos de la función utilidad son (-5,-4), (-5,3), (4,-4) y (4,3). El primero es un máximo, los dos siguientes son puntos de ensilladura y el último es un mínimo, la utilidad máxima la tenemos en (-5,-4) pero es un punto que no tiene sentido físico.

Explicación paso a paso:

La función de ingreso por venta de cada producto es el producto entre el precio y la cantidad vendida:

$I_m=p_m.q_m=q_m(60-q_m^2)\\\\I_n=p_n.q_n=q_n(72-2q_n^2)$

Y la función utilidad es la diferencia entre el ingreso y el costo de producción que es el costo conjunto:

$U=I_m+I_n-C=q_m(60-q_m^2)+q_n(72-2q_n^2)-\frac{3}{2}q_m^2-3q_n^2\\\\U(q_n,q_m)=60q_m-q_m^3+72q_n-2q_n^3-\frac{3}{2}q_m^2-3q_n^2$

Los puntos críticos de la función son aquellos donde las derivadas parciales son todas nulas:

$\frac{dU}{dq_m}=60-3q_m^2-3q_m=0\\\\\frac{dU}{dq_n}=72-6q_n^2-6q_n=0$

Entonces para hallar los puntos críticos resolvemos las ecuaciones cuadráticas:

$q_m=\frac{3\ñ\sqrt{(-3)^2-4.(-3)60}}{2(-3)}=\frac{3\ñ\sqrt{9+720}}{-6}=\frac{3\ñ27}{-6}\\\\q_m=-5;q_m=4\\\\q_n=\frac{6\ñ\sqrt{(-6)^2-4.(-6)72}}{2(-6)}=\frac{6\ñ\sqrt{36+1728}}{-12}=\frac{6\ñ42}{-12}\\\\q_n=-4;q_n=3$

Entonces tenemos que los puntos críticos $(q_m,q_n)$ son (-5,-4), (-5,3), (4,-4) y (4,3). Para determinar su naturaleza recurrimos al hessiano, para lo cual hallamos las derivadas segundas:

$\frac{d^2U}{dq_m^2}=U''_{mm}=6q_m-6\\\\\frac{d}{dq_n}(\frac{dU}{dq_m})=U''_{mn}=0\\\\\frac{d^2U}{dq_n^2}=U''_{nn}=12q_n-6\\\\\frac{d}{dq_m}(\frac{dU}{dq_n})=U''_{nm}=0$

Y el hessiano para el primer punto es:

$det\left[\begin{array}{ccc}U''_{mm}&U''_{mn}\\U''_{nm}&U''_{nn}\end{array}\right] =det\left[\begin{array}{ccc}6q_m-6&0\\0&12q_n-6\end{array}\right] =\\=\\\\=det\left[\begin{array}{ccc}6.(-5)-6&0\\0&12(-4)-6\end{array}\right]=det\left[\begin{array}{ccc}-36&0\\0&-54\end{array}\right]=1944$

Como es positivo es un extremo, y como $U''_{mm}$ es negativa, es un máximo.

Para el segundo punto es:

$det\left[\begin{array}{ccc}U''_{mm}&U''_{mn}\\U''_{nm}&U''_{nn}\end{array}\right] =det\left[\begin{array}{ccc}6q_m-6&0\\0&12q_n-6\end{array}\right] =\\=\\\\=det\left[\begin{array}{ccc}6.(-5)-6&0\\0&12(3)-6\end{array}\right]=det\left[\begin{array}{ccc}-36&0\\0&30\end{array}\right]=-1080$

Como el hessiano es negativo, es un punto de ensilladura.

El hessiano para el tercer punto es:

$det\left[\begin{array}{ccc}U''_{mm}&U''_{mn}\\U''_{nm}&U''_{nn}\end{array}\right] =det\left[\begin{array}{ccc}6q_m-6&0\\0&12q_n-6\end{array}\right] =\\=\\\\=det\left[\begin{array}{ccc}6.(4)-6&0\\0&12(-4)-6\end{array}\right]=det\left[\begin{array}{ccc}18&0\\0&-54\end{array}\right]=-972$

Como el hessiano es negativo es un punto de ensilladura.

Y el hessiano para el cuarto punto es:

$det\left[\begin{array}{ccc}U''_{mm}&U''_{mn}\\U''_{nm}&U''_{nn}\end{array}\right] =det\left[\begin{array}{ccc}6q_m-6&0\\0&12q_n-6\end{array}\right] =\\=\\\\=det\left[\begin{array}{ccc}6.(4)-6&0\\0&12(3)-6\end{array}\right]=det\left[\begin{array}{ccc}18&0\\0&30\end{array}\right]=540$

Como el hessiano es positivo, es un extremo, al ser positiva la derivada $U''_{mm}$ es un mínimo.

La utilidad máxima la obtenemos en el punto (-5,-4), siendo un punto que no tiene sentido físico.