Question

1) Una retroexcavadora se dirige hacia una construcción cuya altura es de 320 m a una velocidad de 40 m/s. ¿Con qué rapidez crece el ángulo subtendido por la parte alta de la construcción y el ojo del conductor cuando este se encuentra a 360 m de la torre?​

Answer 1

El ángulo subtendido por la parte alta de la construcción y el ojo del conductor, cuando este se encuentra a 360 m de la torre de 320 m, crece con una rapidez aproximada de  0.06  radianes/s.

Explicación paso a paso:

La base y la azotea de la construcción junto con la retroexcavadora forman un triángulo rectángulo con un cateto fijo, la altura  h  de la construcción, y dos lados variables, la hipotenusa  z  desde la retroexcavadora hasta la azotea, y el otro cateto, la distancia horizontal  x  que separa la retroexcavadora de la base de la construcción.

La hipotenusa  z  y la horizontal  x  forman un ángulo, que llamaremos  p, del cual se desea conocer su rapidez de crecimiento en las condiciones dadas.

Este es un problema de razones relacionadas o derivadas ligadas, que se resuelve usando derivación implícita con respecto al tiempo  t quien es la variable independiente que controla el sistema.

Usaremos la expresión de la razón trigonométrica Cotangente en el triángulo rectángulo:

Ctg(p)  =  x/h    

Derivando implícitamente con respecto al tiempo  t   (h  es constante)

$\bold{\dfrac{d[Ctg(p)]}{dt}~=~\dfrac{d(\frac{x}{h})}{dt}\qquad\Rightarrow\qquad -Csc^2(p)\cdot\dfrac{dp}{dt}~=~\dfrac{1}{h}\cdot\dfrac{dx}{dt}}$

Se desea conocer  dp/dt  cuando  

dx/dt  =  -40  m/s (disminuye)                x  =  360  m                h  =  320  m

Hace falta conocer  p  en ese instante, para ello:

$\bold{Tg(p)~=~\dfrac{(CatOp)}{(CatAd)}~=~\dfrac{320}{360}~=~\dfrac{8}{9}\qquad\Rightarrow}$

$\bold{p~=~ArcTg(\dfrac{8}{9})~\approx~0.73~radianes}$

Sustituimos en la derivada:

$\bold{-Csc^2(0.73)\cdot\dfrac{dp}{dt}~=~\dfrac{1}{320}\cdot(-40)\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{dp}{dt}~=~\dfrac{Sen^2(0.73)}{8}~\approx~0.06~rad/s}$

El ángulo subtendido por la parte alta de la construcción y el ojo del conductor, cuando este se encuentra a 360 m de la torre de 320 m, crece con una rapidez aproximada de  0.06  radianes/s.