Question

Resuelva el siguiente problema de valor inicial:

y^''+36y=0; y(π⁄6)=1 ;y’(6)=2

Answer 1

La solución particular del problema de valores iniciales dado es:

$\bold{~~y_{c} ~=~6Sen6x~~-~~2Cos6x }$

Explicación:

Una ecuación diferencial (ed) de la forma:

$\bold{a_{n}y^{(n)}~+~ a_{n-1}y^{(n-1)}~+~ a_{n-2}y^{(n-2)}~+~...~+~ a_{1}y'~+~ a_{0}y~=~0}$

Se conoce como E.D. Lineal Homogénea (EDLH) de Orden  n  con coeficientes constantes.

La solución general de la EDLH se consigue hallando las raíces de la llamada ecuación auxiliar o polinomio característico y sustituyendo en las expresiones exponenciales correspondientes.

Veamos el caso estudio:

y'’  +  36y  =  0

La ecuación característica es:        m²  +  36  =  0

Una ecuación de segundo grado con raices complejas conjugadas  

(α  +  βi)     ∧     (α  -  βi);

entonces la solución general viene dada por:

$\bold{y_{c} ~=~(C_{1}~Cos\beta x~~+~~C_{2}~Sen\beta x)~e^{\alpha x}}$

La solución de nuestro problema es:

Ecuación Característica es:        m²  +  36  =  0

$\bold{m^2~+~36~=~0\quad\Rightarrow\quad m^2~=~-36\quad\Rightarrow\quad m~=~\pm 6i~\quad\Rightarrow\quad \alpha=0\quad \beta=6}$

$\bold{Soluci\acute{o}n~General:~~y_{c} ~=~[C_{1}~Cos((6)x)~+~C_{2}~Sen((6)x)]~e^{(0)x}\qquad\Rightarrow}$

$\bold{Soluci\acute{o}n~General:~~y_{c} ~=~C_{1}~Cos6x~+~C_{2}~Sen6x}$

Solución particular para  

$\bold{x ~=~\dfrac{\pi}{6}~~\qquad~~y~=~1}$

Sustituimos en  la solución general

$\bold{1~=~ C_{1}~Cos(6(\dfrac{\pi}{6}))~~+~~C_{2}~Sen(6(\dfrac{\pi}{6})) \qquad\Rightarrow\qquad C_{1}~=~-1}$

$\bold{ y_{c} ~=~ -Cos6x~~+~~C_{2}~Sen6x}$

Calculamos la derivada de primer orden

$\bold{ y'~=~ 6Sen6x~~+~~6C_{2}~Cos6x}$

Sustituimos los valores iniciales

$\bold{x ~=~\dfrac{\pi}{6}~~\qquad~~y'~=~2}$

$\bold{ 2~=~ 6Sen(6(\dfrac{\pi}{6}))~~+~~6C_{2}~Cos(6(\dfrac{\pi}{6}))\qquad\Rightarrow\qquad C_{2}~=~-\dfrac{1}{3}}$

$\bold{Soluci\acute{o}n~Particular:~~y_{c} ~=~6Sen6x~~-~~2Cos6x }$