Question

El arquitecto Gómez, dirige el proyecto de remodelación del parque municipal del distrito La Esperanza. La forma del parque está representada por la ecuación polar r(5-3sensθ)=16. El arquitecto planea construir un camino que une los extremos de la parte más ancha del terreno y necesita saber la distancia que existe entre los extremos (considerar que las medidas están en cientos de metros), además en el centro del camino colocará una pileta. Por ello, se requiere obtener las coordenadas de los extremos y del centro en coordenadas rectangulares. Para ayudar al arquitecto Gómez a lograr su objetivo, se deberá seguir la siguiente estrategia:

a) Pasar la ecuación polar a rectangular (en su forma ordinaria).
b) Hallar el centro, los vértices de la parte más ancha del terreno en la forma rectangular y determinar la distancia entre los vértices (considerar que las medidas están en cientos de metros), utilizando la ecuación cartesiana, hallada en a).
c) Graficar la cónica en el plano cartesiano ubicando las coordenadas de los vértices y del centro. ​

plss lo necesito para hoy, seguiré al que lo haga:/

Answer 1

La parte más ancha del terreno mide 1000 metros (vértice a vértice) y hay 500 metros de cada vértice al centro

Explicación paso a paso:

El sistema de coordenadas polares ubica los puntos en el plano en base a un par ordenado (r, θ),  siendo  r  la longitud del radio vector que une el punto con el punto base, llamado polo, y  θ  es el ángulo que forma el radio vector con el llamado eje polar.

Este sistema de coordenadas se relaciona con el sistema de coordenadas rectangulares ubicando el polo en el origen del sistema xy y tomando el brazo positivo del eje de las  x  como el eje polar.

Para pasar de un sistema a otro se usan las expresiones:

$\bold{x~=~r\cdot Cos\theta\qquad\qquad\qquad y~=~r\cdot Sen\theta}$

$\bold{r~=~\sqrt{x^2~+~y^2}\qquad\qquad\qquad\theta~=~ArcTg(\dfrac{y}{x})}$

Con esta información vamos a responder las interrogantes

a) Pasar la ecuación polar a rectangular (en su forma ordinaria).

$\bold{r\cdot(5~-~3\cdot Sen\theta)~=~16\qquad\Rightarrow\qquad (\sqrt{x^2~+~y^2})\cdot(5~-~\dfrac{3\cdot y}{\sqrt{x^2~+~y^2}}~=~16\qquad\Rightarrow}$

$\bold{5\cdot\sqrt{x^2~+~y^2}~-~3y~=~16\qquad\Rightarrow\qquad 5\cdot\sqrt{x^2~+~y^2}~=~16~+~3y\qquad\Rightarrow}$

$\bold{25\cdot(x^2~+~y^2)~=~256~+~96y~+~9y^2\qquad\Rightarrow\qquad 25x^2~+~16y^2~-~96y~-~256~=~0}$

Completando cuadrados

$\bold{25x^2~+~16\cdot(y~-~3)^2~=~400\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{x^2}{16}~+~\dfrac{(y~-~3)^2}{25}~=~1}$

b) Hallar el centro, los vértices de la parte más ancha del terreno en la forma rectangular y determinar la distancia entre los vértices (considerar que las medidas están en cientos de metros), utilizando la ecuación cartesiana, hallada en a).

La ecuación

      $\bold{\dfrac{x^2}{16}~+~\dfrac{(y~-~3)^2}{25}~=~1}$    

es la ecuación canónica de una elipse de eje mayor vertical con centro en el punto (0, 3) y distancia del centro a los vértices igual a  5  (25 en la ecuación es el cuadrado de la distancia centro-vértice). Esto implica que de vértice a vértice hay 10 unidades.

Las distancias están en cientos de metros, por tanto, la parte más ancha del terreno mide 1000 metros (vértice a vértice) y hay 500 metros de cada vértice al centro.

c) Graficar la cónica en el plano cartesiano ubicando las coordenadas de los vértices y del centro.

Ver gráfica anexa