Question

Integrales indefinidas!

$\int\ { \frac{ x^{2} }{ \sqrt[3]{1+2x} } } \, dx$

Answer 1

tenemos la siguiente integral,

$\displaystyle\int{ \frac{ x^{2} }{ \sqrt[3]{1+2x} } } dx$

podemos hacer una sustitución,

$u=1+2x$

derivamos,

$du=2dx$

despejamos el diferencial de equis,

$\displaystyle dx= \frac{du}{2}$

haciendo los reemplazos, tenemos,

$\displaystyle\int{ \frac{ x^{2} }{ \sqrt[3]{u} } } \frac{du}{2}$

pero necesitamos que todo esté en función de la nueva variable, para eso, usamos el reemplazo que hicimos y despejamos x en función de u

$u=1+2x \\ x=\displaystyle \frac{u-1}{2}$

y con éste último reemplazo tenemos,

$\displaystyle\int{ \frac{\left( \frac{u-1}{2} \right)^{2} }{ \sqrt[3]{u} } } \left(\frac{du}{2} \right)=\int{ \frac{\frac{u^{2}-2u+1}{4} }{2 \sqrt[3]{u} } }du$

usamos el álegebra y nos indica que, medios con medios extremos con extremos,

$\displaystyle\int{ \frac{ u^{2}-2u+1 }{8 \sqrt[3]{u} } } du= \frac{1}{8} \int{ \frac{ u^{2}-2u+1 }{\sqrt[3]{u} } } du$

ahora podemos distribuir el denominador a cada término del numerador haciendo las llamdas "fracciones homogéneas(álgebra)",

$\displaystyle \frac{1}{8} \int{ \frac{ u^{2}-2u+1 }{\sqrt[3]{u} } } du= \frac{1}{8} \int{\left( \frac{ u^{2} }{ \sqrt[3]{u} }-2 \frac{u}{ \sqrt[3]{u} }+ \frac{1}{ \sqrt[3]{u} } \right)} du$

hacemos uso de la leyes de los exponentes (álgebra)

$( x^{m})( x^{n} )= x^{m+n} \\ \displaystyle \frac{ x^{m}}{ x^{n}} = x^{m-n} \\ \sqrt[n]{ x^{m}} = \displaystyle x^{ \frac{m}{n} }$

tenemos que,

$\displaystyle \frac{1}{8}\int{\left( \frac{u^{2} }{ u^{ \frac{1}{3} } }- 2\frac{u}{ u^{ \frac{1}{3} } }+ \frac{1}{ u^{ \frac{1}{3} } } \right)} du= \frac{1}{8} \int{\left( u^{(2- \frac{1}{3} )}-2u^{(1- \frac{1}{3}) } +u^{- \frac{1}{3} } \right)} du=... \\ \\ \\ ...= \frac{1}{8} \int{\left(u^{ \frac{5}{3} } -2u^{ \frac{2}{3} }+ u^{- \frac{1}{3} } \right) } du$

usnado la integral de la potencia , tenemos que,

$\displaystyle\frac{1}{8} \int{\left(u^{ \frac{5}{3} } -2u^{ \frac{2}{3} }+ u^{- \frac{1}{3} } \right) } du= \frac{1}{8} \left( \frac{u^{( \frac{5}{3}+1 )} }{ \frac{5}{3}+1 }-2 \frac{ u^{ (\frac{2}{3}+1) } }{ \frac{2}{3}+1 } + \frac{ u^{(- \frac{1}{3}+1 )} }{- \frac{1}{3}+1 } \right)+C \\ \\\\ \frac{1}{8}\left( \frac{ 3}{8}u^{ \frac{8}{3} }- \frac{6}{5}u^{ \frac{5}{3}}+ \frac{3}{2}u^{ \frac{2}{3} } \right) +C$

ahora hay que volver a la variable orignial y nos queda,

 ${\displaystyle\frac{1}{8}\left( \frac{ 3}{8}(1+2x)^{ \frac{8}{3} }- \frac{6}{5}(1+2x)^{ \frac{5}{3}}+ \frac{3}{2}(1+2x)^{ \frac{2}{3} } \right) +C }_{\blacksquare}$

bueno podrías seguirle desarrolando por supuesto hasta que te quede algo medio simpático, pero hasta ahí me parece bastante bien,

espero te sirva y si tienes laguna duda me avisas

Saludos¡

"mi amor-..:("