Question

Probar que si ║f(x)║ ≤ ║x║ , entonces f es continua en 0

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

                   Función continua

Decimos que una función es continua en un punto "a" si cumple los siguientes requisitos:

• "a" ∈ Dom(f)

• $\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$

El punto (2) lo podemos expresar en términos de la definición formal de limite, nos quedará:

∀ε > 0,   ∃δ > 0 tal que:  

Si  ║x - a║ < δ           ⇒    0< ║f(x) - f(a)║ < ε

Esta definición es la que usaremos para el ejercicio, veamos:

1) Supongamos que 0 ∈ Dom(f) ,  esto implica que:  

   

                             ║f(0)║ ≤  ║0║

Ya tenemos el primer punto, vamos al segundo

2)  Probaremos que:      

$\lim_{x \to 0} f(x)= f(0)$    

Es decir:

∀ε > 0,   ∃δ > 0 tal que:    

Si 0 < ║x║ < δ        ⇒   0< ║f(x) - f(0)║ < ε

Busquemos nuestro "delta", partimos de:

║f(x) - f(0)║  

Por desigualdad triangular, esto es:

║f(x) - f(0)║ ≤ ║f(x)║ + ║f(0)║

Por hipotesis:  ║f(x)║ ≤ ║x║

Y a la vez:  ║f(0)║≤ ║0║   , nos queda:

║f(x) - f(0)║ ≤ ║f(x)║ + ║f(0)║≤ ║x║ + ║0║= ║x║ < ε

Por lo tanto, eligiendo que:  

δ= ε

Llegaremos a que:

Si 0 <║x║< ε   entonces:     0 < ║f(x) - f(0)║ < ε

Y así queda probado el segundo punto y el ejercicio

Saludoss