Question

Una partícula se mueve en línea recta por el eje x. Su velocidad está dada por la función :
v (t)= t^3- 11t^2 + 34t -24 m/s. Encuentra la distancia que la partícula recorrió durante los
primeros 10 segundos .

Answer 1

Siendo la velocidad una función del tiempo de grado 3, la aceleración no es constante.

Debemos recurrir al cálculo integral para hallar la posición en función del tiempo.

v = dx/dt; por lo tanto dx = v dt; o bien  x = ∫(v dt)

x = ∫(t³ - 11 t² + 34 t - 24) dt = t⁴/4 - 11/3 t³ + 17 t² - 24 t

Si hablamos de distancia hablamos de sumar las idas y vueltas de la partícula, ya que la velocidad cambia de signo tres veces

Con métodos adecuados del álgebra se obtienen los instantes de velocidad nula, que corresponde a puntos de retrocesos de la partícula.

Éstos puntos son t = 1, t = 4 y t = 6

Hay entonces cuatro intervalos:

(0, 1) , (1, 4) , (4, 6) y (6 , 10)

Hallamos los valores de x correspondientes. Omito los cálculos numéricos.

t = 0; x = - 24

t = 1; x = - 10,4

t = 4; x = 5,33

t = 6; x = 0

t = 10; x = 293,3

Distancias:

d1 = - 10,4 - (- 24) = 13,6 m (avanza)

d2 = 5,33 - (- 10,4) = 15,73 m (avanza)

d3 = 0 - 5,33 = - 5,33 m (retrocede)

d4 = 293,3 - 0 = 293,3 m (avanza)

La distancia total es la suma de los valores absolutos de cada parte.

D = 13,6 + 15,73 + 5,33 + 293,3 = 327,96 m

El desplazamiento en cambio es posición final menos posición inicial.

Δx = 293,3 - (- 24) = 317,3 m

Saludos