Hallar la diferencia de las áreas, de las circunferencias tangentes a: x + 2y − 26 =0 ; 2x−y+8=0, si sus centros están sobre la recta: x + y − 10 = 0.
Respuestas
Respuesta dada por:
0
Las rectas x + 2y - 26 = 0 & 2x - y + 8 = 0 son ortogonales. Ahora si tenemos dos rectas cualesquiera y se quiere buscar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a tales dos rectas, este es otra recta que es bisectriz de estas rectas (es decir dos lugares geométricos)
(1) El vector director de la recta x + 2y - 26 = 0 es (-2,1)
(2) El vector director de la recta 2x - y + 8 = 0 = 0 es (1,2)
(3) hallemos los vectores unitarios de cada vector director
![\vec{u}_1=\dfrac{(-2,1)}{\|(-2,1)\|}=\dfrac{(-2,1)}{\sqrt{5}}\\ \\ \\
\vec{u}_2=\dfrac{(1,2)}{\|(1,2)\|}=\dfrac{(1,2)}{\sqrt{5}}\\ \\
\vec{u}_1=\dfrac{(-2,1)}{\|(-2,1)\|}=\dfrac{(-2,1)}{\sqrt{5}}\\ \\ \\
\vec{u}_2=\dfrac{(1,2)}{\|(1,2)\|}=\dfrac{(1,2)}{\sqrt{5}}\\ \\](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cvec%7Bu%7D_1%3D%5Cdfrac%7B%28-2%2C1%29%7D%7B%5C%7C%28-2%2C1%29%5C%7C%7D%3D%5Cdfrac%7B%28-2%2C1%29%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C%0A%5Cvec%7Bu%7D_2%3D%5Cdfrac%7B%281%2C2%29%7D%7B%5C%7C%281%2C2%29%5C%7C%7D%3D%5Cdfrac%7B%281%2C2%29%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%5C%5C+%5C%5C%0A)
Para luego hallar el vector director bisectriz
(4) vector bisectriz
![\vec{b}_1=\vec{u}_1+\vec{u}_2=\dfrac{(-2,1)}{\sqrt{5}}+\dfrac{(1,2)}{\sqrt{5}}\\ \\ \\
\vec{b}_1=\dfrac{(-1,3)}{\sqrt{5}} \vec{b}_1=\vec{u}_1+\vec{u}_2=\dfrac{(-2,1)}{\sqrt{5}}+\dfrac{(1,2)}{\sqrt{5}}\\ \\ \\
\vec{b}_1=\dfrac{(-1,3)}{\sqrt{5}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cvec%7Bb%7D_1%3D%5Cvec%7Bu%7D_1%2B%5Cvec%7Bu%7D_2%3D%5Cdfrac%7B%28-2%2C1%29%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%2B%5Cdfrac%7B%281%2C2%29%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C%0A%5Cvec%7Bb%7D_1%3D%5Cdfrac%7B%28-1%2C3%29%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D)
El otro vector bisectriz simplemente es el ortogonal de
, es decir
![\vec{b}_2=\dfrac{(3,1)}{\sqrt{5}} \vec{b}_2=\dfrac{(3,1)}{\sqrt{5}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cvec%7Bb%7D_2%3D%5Cdfrac%7B%283%2C1%29%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D)
(5) Luego hallemos los centros
(5.1) Hallemos las ecuaciones de las bisectrices. Solo necesitamos un punto de paso, es decir el punto de intersección de las rectas tangentes
x + 2y - 26 = 0 & 2x - y + 8 = 0
que es I = (2,12)
(5.2) ecuación de la recta bisectriz 1
![B_1: 3x + y = 2(3) + 12\\ \\
\boxed{B_1:3x + y = 18} B_1: 3x + y = 2(3) + 12\\ \\
\boxed{B_1:3x + y = 18}](https://tex.z-dn.net/?f=B_1%3A+3x+%2B+y+%3D+2%283%29+%2B+12%5C%5C+%5C%5C%0A%5Cboxed%7BB_1%3A3x+%2B+y+%3D+18%7D)
(5.3) ecuación de la recta bisectriz 2
![B_2: x - 3y = 1(3) - 3(12)\\ \\
\boxed{B_2: x - 3y = -33} B_2: x - 3y = 1(3) - 3(12)\\ \\
\boxed{B_2: x - 3y = -33}](https://tex.z-dn.net/?f=B_2%3A+x+-+3y+%3D+1%283%29+-+3%2812%29%5C%5C+%5C%5C%0A%5Cboxed%7BB_2%3A+x+-+3y+%3D+-33%7D)
Ahora si los centros
(5.4) Centro 1: recta x + y - 10 = 0 & B1 ----> C1 = (4,6)
(5.5) Centro 2: recta x + y - 10 = 0 & B2 ----> C2 = (-3/4, 43/4)
(6) Ecuación de las circunferencias
(6.1) Circunferencia de centro C1. Hallemos la distancia del centro C1 a la recta x + 2y - 26 = 0 (ó la otra recta es lo mismo)
![R_1=\dfrac{|4+2(6)-26|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\dfrac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5} R_1=\dfrac{|4+2(6)-26|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\dfrac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}](https://tex.z-dn.net/?f=R_1%3D%5Cdfrac%7B%7C4%2B2%286%29-26%7C%7D%7B%5Csqrt%7B1%5E2%2B2%5E2%7D%7D%3D%5Cdfrac%7B10%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%3D2%5Csqrt%7B5%7D)
Ecuación:![\boxed{(x-4)^2+(y-6)^2=20} \boxed{(x-4)^2+(y-6)^2=20}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7B%28x-4%29%5E2%2B%28y-6%29%5E2%3D20%7D)
(6.2) Ecuación de la circunferencia de centro C2. Hallemos su radio
![R_2=\dfrac{|(-3/4)+2(43/4)-26|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\dfrac{21}{4\sqrt{5}} R_2=\dfrac{|(-3/4)+2(43/4)-26|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\dfrac{21}{4\sqrt{5}}](https://tex.z-dn.net/?f=R_2%3D%5Cdfrac%7B%7C%28-3%2F4%29%2B2%2843%2F4%29-26%7C%7D%7B%5Csqrt%7B1%5E2%2B2%5E2%7D%7D%3D%5Cdfrac%7B21%7D%7B4%5Csqrt%7B5%7D%7D)
Ecuación:![\boxed{\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2+\left(y-\dfrac{43}{4}\right)^2=\left(\dfrac{21}{4\sqrt{5}}\right)^2} \boxed{\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2+\left(y-\dfrac{43}{4}\right)^2=\left(\dfrac{21}{4\sqrt{5}}\right)^2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7B%5Cleft%28x%2B%5Cdfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Cright%29%5E2%2B%5Cleft%28y-%5Cdfrac%7B43%7D%7B4%7D%5Cright%29%5E2%3D%5Cleft%28%5Cdfrac%7B21%7D%7B4%5Csqrt%7B5%7D%7D%5Cright%29%5E2%7D)
(1) El vector director de la recta x + 2y - 26 = 0 es (-2,1)
(2) El vector director de la recta 2x - y + 8 = 0 = 0 es (1,2)
(3) hallemos los vectores unitarios de cada vector director
Para luego hallar el vector director bisectriz
(4) vector bisectriz
El otro vector bisectriz simplemente es el ortogonal de
(5) Luego hallemos los centros
(5.1) Hallemos las ecuaciones de las bisectrices. Solo necesitamos un punto de paso, es decir el punto de intersección de las rectas tangentes
x + 2y - 26 = 0 & 2x - y + 8 = 0
que es I = (2,12)
(5.2) ecuación de la recta bisectriz 1
(5.3) ecuación de la recta bisectriz 2
Ahora si los centros
(5.4) Centro 1: recta x + y - 10 = 0 & B1 ----> C1 = (4,6)
(5.5) Centro 2: recta x + y - 10 = 0 & B2 ----> C2 = (-3/4, 43/4)
(6) Ecuación de las circunferencias
(6.1) Circunferencia de centro C1. Hallemos la distancia del centro C1 a la recta x + 2y - 26 = 0 (ó la otra recta es lo mismo)
Ecuación:
(6.2) Ecuación de la circunferencia de centro C2. Hallemos su radio
Ecuación:
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