Question

Hallar la diferencia de las áreas, de las circunferencias tangentes a: x + 2y − 26 =0 ; 2x−y+8=0, si sus centros están sobre la recta: x + y − 10 = 0.

Answer 1

Las rectas x + 2y - 26 = 0 & 2x - y + 8 = 0 son ortogonales. Ahora si tenemos dos rectas cualesquiera y se quiere buscar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a tales dos rectas, este es otra recta que es bisectriz de estas rectas (es decir dos lugares geométricos) 

(1) El vector director de la recta x + 2y - 26 = 0 es (-2,1)
(2) El vector director de la recta 2x - y + 8 = 0 = 0 es (1,2)
(3) hallemos los vectores unitarios de cada vector director
 
                                     $\vec{u}_1=\dfrac{(-2,1)}{\|(-2,1)\|}=\dfrac{(-2,1)}{\sqrt{5}}\\ \\ \\ \vec{u}_2=\dfrac{(1,2)}{\|(1,2)\|}=\dfrac{(1,2)}{\sqrt{5}}$

Para luego hallar el vector director bisectriz
(4) vector bisectriz
  
                   $\vec{b}_1=\vec{u}_1+\vec{u}_2=\dfrac{(-2,1)}{\sqrt{5}}+\dfrac{(1,2)}{\sqrt{5}}\\ \\ \\ \vec{b}_1=\dfrac{(-1,3)}{\sqrt{5}}$

El otro vector bisectriz simplemente es el ortogonal de $\vec{b}_1$, es decir
                                   $\vec{b}_2=\dfrac{(3,1)}{\sqrt{5}}$

(5) Luego hallemos los centros 
  (5.1) Hallemos las ecuaciones de las bisectrices. Solo necesitamos un punto de paso, es decir el punto de intersección de las rectas tangentes
                       
                                      x + 2y - 26 = 0 & 2x - y + 8 = 0

que es I = (2,12)
   (5.2) ecuación de la recta bisectriz 1
                           $B_1: 3x + y = 2(3) + 12\\ \\ \boxed{B_1:3x + y = 18}$
    
   (5.3) ecuación de la recta bisectriz 2
                           
                           $B_2: x - 3y = 1(3) - 3(12)\\ \\ \boxed{B_2: x - 3y = -33}$
   
     Ahora si los centros
   (5.4) Centro 1: recta x + y - 10 = 0 & B1 ----> C1 = (4,6)
   (5.5) Centro 2: recta x + y - 10 = 0 & B2 ----> C2 = (-3/4, 43/4)

(6) Ecuación de las circunferencias
    (6.1) Circunferencia de centro C1. Hallemos la distancia del centro C1 a la recta x + 2y - 26 = 0 (ó la otra recta es lo mismo)
   
                              $R_1=\dfrac{|4+2(6)-26|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\dfrac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$

Ecuación: $\boxed{(x-4)^2+(y-6)^2=20}$

      (6.2) Ecuación de la circunferencia de centro C2. Hallemos su radio
                          $R_2=\dfrac{|(-3/4)+2(43/4)-26|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\dfrac{21}{4\sqrt{5}}$

Ecuación: $\boxed{\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2+\left(y-\dfrac{43}{4}\right)^2=\left(\dfrac{21}{4\sqrt{5}}\right)^2}$