Question

Dos estudiantes de la UNIVERSIDAD se encuentran en la posición que indica la figura sobre los puntos A y B que se encuentran dentro del Jr. Hernán Velarde. Formular un sistema de ecuaciones que represente la información:

a. Realiza un bosquejo de representación de las condiciones del problema

b. Determina la distancia que los separa y la pendiente de la recta que representa el lugar geométrico del Jr. Hernán Velarde

c. Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B

d. Si la Av. Arequipa es perpendicular al Jr. Hernán Velarde determina la ecuación general de la recta que contiene a dicha avenida

Doy corona por favor alguien T-T

Answer 1

a) El bosquejo del problema se encuentra en el archivo adjunto

b) La distancia que separa a los estudiantes es √65 unidades o de aproximadamente 8.06 unidades. Siendo la pendiente de la recta de J. H. Velarde igual a 1/8

c) La ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B está dada por:

$\large\boxed {\bold { y = \frac{1}{8} \ x\ + \frac{3}{2}} }$

d) La ecuación general de la recta que contiene a la Av. Arequipa está dada por:

$\large\boxed {\bold { 8x+ y+31 = 0}}$

b) Determinamos la distancia entre los estudiantes y la pendiente de la recta de J. Hernán Velarde

b-1) Distancia entre estudiantes

$\large\boxed{\bold { A (-4,1 ) \ \ \ B( 4 , 2) } }$

Empleamos la fórmula de la distancia

$\large\boxed{ \bold { Distancia = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia\ \overline{AB} = \sqrt{( 4 -(-4) )^{2} +( 2-1 )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia\ \overline{AB} = \sqrt{( 4 +4)^{2} +( 2-1 )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia\ \overline{AB} = \sqrt{8^{2} +1^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia\ \overline{AB} = \sqrt{64 +1 } } }$

$\large\boxed{ \bold { Distancia \ \overline{AB} = \sqrt{65 } \ unidades } }$

b-2) Pendiente de la recta de J H Velarde

La pendiente de una recta se representa mediante la letra “m”

Si contamos con 2 puntos que conforman la recta, podemos obtener la pendiente del segmento de recta

La pendiente está dada por

$\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}$

$\boxed{\bold {m = \frac{ 2-(1) }{ 4 -(-4) } }}$

$\boxed{\bold {m = \frac{ 2-1 }{ 4 +4 } }}$

$\large\boxed{\bold {m = \frac{1}{8} }}$

c) Ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B

$\bold{m = \frac{1}{8} }$

Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente  

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

Por tanto:

$\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold { \frac{1}{8} } \\\large\textsf{y el punto dado } \bold { A (-4,1) }$

$\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }$

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

$\boxed {\bold { y - (1) = \frac{1}{8} \ . \ (x - (-4) )}}$

$\boxed {\bold { y -1 = \frac{1}{8} \ . \ (x +4 )}}$

En la forma pendiente intercepción

$\large\boxed {\bold { y = mx +b }}$

Resolvemos para y

$\boxed {\bold { y -1 = \frac{1}{8} \ . \ (x +4 )}}$

$\boxed {\bold { y -1 = \frac{x}{8} \ + \frac{4}{8} }}$

$\boxed {\bold { y -1 = \frac{x}{8} \ + \frac{1}{2} }}$

$\boxed {\bold { y = \frac{x}{8} \ + \frac{1}{2}+ 1 }}$

$\boxed {\bold { y = \frac{x}{8} \ + \frac{1}{2}+ \frac{2}{2} }}$

$\boxed {\bold { y = \frac{x}{8} \ + \frac{3}{2}} }$

$\large\boxed {\bold { y = \frac{1}{8} \ x\ + \frac{3}{2}} }$

d) Hallamos la ecuación de la recta que contiene a la Av. Arequipa, sabiendo que es perpendicular a la recta de la calle Velarde

Determinamos la pendiente de una recta perpendicular para la recta que contiene a la Av. Arequipa

Denotaremos a la pendiente de la recta de la calle Velarde como  $\bold { m }$

La pendiente de una recta perpendicular debe ser inversa y cambiada de signo

En otras palabras debe tener una pendiente que sea el recíproco negativo de la pendiente original $\bold { m }$

$\large\boxed{\bold {m_{1} =- \frac{ 1 }{ m } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos}$

$\boxed{\bold {m_{1} =- \frac{ 1 }{ \frac{1}{8} } }}$

$\boxed{\bold {m_{1} =- 1 \ . \ 8 } }$  

$\large\boxed{\bold {m_{1} =-8 } }$

La pendiente de una recta perpendicular a Velarde es -8, o lo que es lo mismo la pendiente de la Av. Arequipa es -8

Hallamos la ecuación de la recta que contiene a la Av, Arequipa que pasa por el punto A (-4, 1)

Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente  

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

Por tanto:

$\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold { - 8 } \\\large\textsf{y el punto dado } \bold { A (-4,1) }$

$\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }$

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

$\boxed {\bold { y - (1) = -8\ . \ (x - (-4) )}}$

$\boxed {\bold { y - 1 = -8\ . \ (x +4 )}}$

En la forma pendiente intercepción

$\large\boxed {\bold { y = mx +b }}$

Resolvemos para y

$\boxed {\bold { y - 1 = -8\ . \ (x +4 )}}$

$\boxed {\bold { y - 1 = -8x -32}}$

$\boxed {\bold { y= -8x -32+1}}$

$\large\boxed {\bold { y= -8x -31}}$

En en la forma general de la recta:

Que responde a la forma

$\large\boxed {\bold { Ax +By + C = 0 }}$

$\boxed {\bold { y= -8x -31}}$

$\boxed {\bold { 8x+ y= -31}}$

$\large\boxed {\bold { 8x+ y+31 = 0}}$