Question

Calcular la integral: ∫x2ex+4dx

Answer 1

Respuesta:

x2ex+4−2xex+4+2ex+4+C

Explicación paso a paso:

Answer 2

Aplicando el método de integración por partes se obtiene:

$\bold{\int{x^2\cdot e^{x~+~4}}\,dx~=~[x^2~-~2\cdot x~+~2] \cdot e^{x~+~4}~+~C }$

Explicación paso a paso:

Para resolver el ejercicio propuesto aplicaremos el llamado método de integración por partes. Este método es una aplicación de la regla de derivación de un producto, que supone la integral a resolver como uno de los dos sumandos que aparecen en la citada regla. De allí se deduce la fórmula de integración por partes que se observa anexa. En ella   U   V   son funciones derivables e integrables de variable real  x.

$\bold{\int{x^2\cdot e^{x~+~4}}\,dx}$

En primer lugar, separamos las partes; o sea, definimos las expresiones   U  y   dV:

$\bold{U~=~x^2\qquad\qquad\qquad dV~=~ e^{x~+~4}~dx}$

En segundo lugar, calculamos las expresiones   dU   y   V  por derivación de  U  e integración de  dV:

$\bold{dU~=~2\cdot x\cdot dx\qquad\qquad dV~=~\int{e^{x~+~4}}\,dx~=~ e^{x~+~4}~+~C}$

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

$\bold{\int{x^2\cdot e^{x~+~4}}\,dx~=~x^2\cdot e^{x~+~4}~-~2\cdot \int{x\cdot e^{x~+~4}}\,dx}$

La nueva integral también debe resolverse por partes, así que se repite el procedimiento:

$\bold{\int{x\cdot e^{x~+~4}}\,dx}$

Definimos las expresiones   U  y   dV:

$\bold{U~=~x\qquad\qquad\qquad dV~=~ e^{x~+~4}~dx}$

Calculamos las expresiones   dU   y   V  por derivación de  U  e integración de  dV:

$\bold{dU~=~dx\qquad\qquad dV~=~\int{e^{x~+~4}}\,dx~=~ e^{x~+~4}~+~C}$

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

$\bold{\int{x\cdot e^{x~+~4}}\,dx~=~x\cdot e^{x~+~4}~-~\int{e^{x~+~4}}\,dx~=~ x\cdot e^{x~+~4}~-~e^{x~+~4}~+~C}$

Finalmente,

$\bold{\int{x^2\cdot e^{x~+~4}}\,dx~=~x^2\cdot e^{x~+~4}~-~2\cdot \int{x\cdot e^{x~+~4}}\,dx \qquad\Rightarrow}$

$\bold{\int{x^2\cdot e^{x~+~4}}\,dx~=~x^2\cdot e^{x~+~4}~-~2[x\cdot e^{x~+~4}~-~e^{x~+~4}]~+~C\qquad\Rightarrow}$

$\bold{\int{x^2\cdot e^{x~+~4}}\,dx~=~[x^2~-~2\cdot x~+~2] \cdot e^{x~+~4}~+~C }$

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