Question

Falso

Un prisma está formado por los puntos A(10; 2; 5),B(10; 0; 25),C(-10; 8; 25), D(-10; 10; 5) y E(-10; 0; 25). ¿Cuál es el vector perpendicular a BA y BD con módulo de 20u?

7.3i+6.2j-5.8k

6.51+5.6j+6.3k

7.4i+18.5j+1.9k

19.5i+12.5j+6.5k

Answer 1

El vector perpendicular a BA y BD con módulo de 20u es

$\bold{\overrightarrow{p}~=~7.4i~+~18.5j~+~1.9k}$

La opción correcta es la  c).

Explicación paso a paso:

El vector perpendicular a BA y BD se obtiene por medio del producto cruz o producto vectorial de los vectores que forman esos lados.

Los vectores se obtienen por la diferencia entre los puntos finales y los puntos iniciales.

$\bold{\overrightarrow{BA}~=~(10~-~10)i~+~(2~-~0)j~+~(5~-~25)k~=~2j~-~20k}$

$\bold{\overrightarrow{BD}~=~(-10~-~10)i~+~(10~-~0)j~+~(5~-~25)k~=~-20i~+~10j~-~20k}$

Ahora resolvemos el producto vectorial

$\bold{\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BD}~=~\left|\begin{array}{ccc}i&0&-20\\j&2&10\\k&-20&-20\end{array}\right|\qquad\Rightarrow}$

$\bold{\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BD}=[(2)(-20)i+(-20)(-20)j+0]-[(-20)(10)i+0+(-20)(2)k]~\Rightarrow}$

$\bold{\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BD}~=~160i~+~400j~+~40k}$

El módulo del vector resultante se calcula por la raiz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes

$\bold{||\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BD}||~=~\sqrt{(160)^{2}~+~(400)^{2}~+~(40)^{2}}~=~120\cdot\sqrt{13}}$

El vector unitario es un vector cuyo módulo es igual a uno y  resulta de dividir las componentes del vector entre su módulo.

$\bold{\overrightarrow{u}~=~\dfrac{160}{120\cdot\sqrt{13}}i~+~\dfrac{400}{120\cdot\sqrt{13}}j~+~\dfrac{40k}{120\cdot\sqrt{13}}\qquad\Rightarrow}$

$\bold{\overrightarrow{u}~=~\dfrac{4\cdot\sqrt{13}}{39}i~+~\dfrac{10\cdot\sqrt{13}}{39}j~+~\dfrac{\sqrt{13}}{39}k}$

Ahora bien, se quiere un vector con módulo  20 u,  es decir,  20  veces el vector unitario; por tanto, vamos a multiplicar por  20  dicho vector.

$\bold{20\times\overrightarrow{u}~=~\overrightarrow{p}~=~\dfrac{80\cdot\sqrt{13}}{39}i~+~\dfrac{200\cdot\sqrt{13}}{39}j~+~\dfrac{20\cdot\sqrt{13}}{39}k\qquad\Rightarrow}$

El vector perpendicular a BA y BD con módulo de 20u es

$\bold{\overrightarrow{p}~=~7.4i~+~18.5j~+~1.9k}$

La opción correcta es la  c).