Question

Necesito ayuda con ésta integral.

Answer 1

Tienes la siguiente integral

$\displaystyle\int{\sec^{ \frac{3}{2} }(u)\tan(u) du}$

podemos considerar una sustitución del tipo

$x=\sec(u)$

derivamos,

$dx=\sec(u)\tan(u)du \\ \\ du=\displaystyle\frac{dx}{\sec(u)\tan(u)} \\ \\ \textrm{pero sabemos que: }x=\sec(u)\textrm{ entonces tenemos que,} \\ \\ du=\displaystyle\frac{dx}{x\tan(u)}$

entonces la integral nos va a quedar

$\displaystyle\int{ \frac{x^{ \frac{3}{2}}\tan(u) }{x\tan(u)} }dx =\int{ \frac{x^{ \frac{3}{2} } }{x} }dx$

haciendo uso del álgebra con las leyes de los exponentes, $\displaystyle\frac{ x^{m} }{ x^{n} } = x^{m-n}$

tenemos que,

 $\displaystyle\int{ x^{ \frac{1}{2} } }dx = \frac{ x^{ \frac{1}{2}+1 } }{ \frac{1}{2}+1 } \\ \\ \textrm{es decir,} \\ \\ \displaystyle\int{ x^{ \frac{1}{2} } }dx = \frac{ 2 }{ 3}x^{ \frac{3}{2}}$

pero debemos volver a la variable original...

$\left.\displaystyle\frac{2}{3}\sec^{ \frac{3}{2} }(u) \right|^{ \frac{\pi}{4} }_{0}$

ojo, ya cambiado a la variable original podemos evaluar a todo el resultado, pudimos haber cambiado los límties de integración al momento de haber hecho la sustitución... como quieras.

usando el teorema fundamental del cálculo, $\displaystyle F(b)-F(a)$

entonces,

$\displaystyle\left( \frac{2}{3}\sec^{ \frac{3}{2} }\left( \frac{\pi}{4} \right) \right)-\left(\frac{2}{3}\sec^{ \frac{3}{2} }(0) \right)$

ahora si usas una calculadora el resultado se hace muy ´facil, pero en caso de no tenerla podemos hacer lo siguiente,

sabemos que

$\displaystyle\sec(x)= \frac{1}{\cos(x)} \textrm{ entonces, podemos decir que }\sec^{ \frac{3}{2} }(x)= \frac{1}{\cos^{ \frac{3}{2} }(u) }$

entonces nos queda,

$\displaystyle\left( \frac{2}{3} \frac{1}{\cos^{ \frac{3}{2} }\left( \frac{\pi}{4} \right) }\right)-\left( \frac{2}{3} \frac{1}{\cos^{ \frac{3}{2} }\left( 0\right) }\right)$

ahora por notación podemos hacer lo siguiente, sabemos que

$\displaystyle\cos^{ \frac{3}{2} } (u)=\left(\cos(u)\right)^{ \frac{3}{2} }$

entonces,

$\displaystyle\left( \frac{2}{3} \frac{1}{\left(\cos\left( \frac{\pi}{4} \right)\right)^{ \frac{3}{2} } }\right)-\left( \frac{2}{3} \frac{1}{(\cos\left( 0\right))^{ \frac{3}{2} } }\right)$

lo que si sabemos es que,

$\displaystyle\cos\left( \frac{\pi}{4} \right)=\cos(45)= \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \\ \cos(0)=1$

entonces,

$\left( \frac{2}{3} \frac{1}{\left( \frac{ \sqrt{2} }{2} \right)^{ \frac{3}{2} } }\right)-\left( \frac{2}{3} \frac{1}{(1)^{ \frac{3}{2} } }\right)$

bueno ahora si sería bueno que te consigas una calculadora jaja...en fin, te va a quedar que,

0,45453...

y eso sería todo espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas