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Tienes la siguiente integral
![\displaystyle\int{\sec^{ \frac{3}{2} }(u)\tan(u) du} \displaystyle\int{\sec^{ \frac{3}{2} }(u)\tan(u) du}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cint%7B%5Csec%5E%7B+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D+%7D%28u%29%5Ctan%28u%29+du%7D+)
podemos considerar una sustitución del tipo
![x=\sec(u) x=\sec(u)](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D%5Csec%28u%29)
derivamos,
![dx=\sec(u)\tan(u)du \\ \\ du=\displaystyle\frac{dx}{\sec(u)\tan(u)} \\ \\ \textrm{pero sabemos que: }x=\sec(u)\textrm{ entonces tenemos que,}
\\ \\ du=\displaystyle\frac{dx}{x\tan(u)} dx=\sec(u)\tan(u)du \\ \\ du=\displaystyle\frac{dx}{\sec(u)\tan(u)} \\ \\ \textrm{pero sabemos que: }x=\sec(u)\textrm{ entonces tenemos que,}
\\ \\ du=\displaystyle\frac{dx}{x\tan(u)}](https://tex.z-dn.net/?f=dx%3D%5Csec%28u%29%5Ctan%28u%29du+%5C%5C++%5C%5C+du%3D%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csec%28u%29%5Ctan%28u%29%7D++%5C%5C++%5C%5C+%5Ctextrm%7Bpero+sabemos+que%3A+%7Dx%3D%5Csec%28u%29%5Ctextrm%7B+entonces+tenemos+que%2C%7D+%0A++%5C%5C++%5C%5C+du%3D%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bx%5Ctan%28u%29%7D+)
entonces la integral nos va a quedar
![\displaystyle\int{ \frac{x^{ \frac{3}{2}}\tan(u) }{x\tan(u)} }dx =\int{ \frac{x^{ \frac{3}{2} } }{x} }dx \displaystyle\int{ \frac{x^{ \frac{3}{2}}\tan(u) }{x\tan(u)} }dx =\int{ \frac{x^{ \frac{3}{2} } }{x} }dx](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cint%7B+%5Cfrac%7Bx%5E%7B+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%5Ctan%28u%29+%7D%7Bx%5Ctan%28u%29%7D+%7Ddx+%3D%5Cint%7B+%5Cfrac%7Bx%5E%7B+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D+%7D+%7D%7Bx%7D+%7Ddx+)
haciendo uso del álgebra con las leyes de los exponentes,![\displaystyle\frac{ x^{m} }{ x^{n} } = x^{m-n} \displaystyle\frac{ x^{m} }{ x^{n} } = x^{m-n}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B+x%5E%7Bm%7D+%7D%7B+x%5E%7Bn%7D+%7D+%3D+x%5E%7Bm-n%7D+)
tenemos que,
![\displaystyle\int{ x^{ \frac{1}{2} } }dx = \frac{ x^{ \frac{1}{2}+1 } }{ \frac{1}{2}+1 } \\ \\ \textrm{es decir,}
\\ \\ \displaystyle\int{ x^{ \frac{1}{2} } }dx = \frac{ 2 }{ 3}x^{ \frac{3}{2}} \displaystyle\int{ x^{ \frac{1}{2} } }dx = \frac{ x^{ \frac{1}{2}+1 } }{ \frac{1}{2}+1 } \\ \\ \textrm{es decir,}
\\ \\ \displaystyle\int{ x^{ \frac{1}{2} } }dx = \frac{ 2 }{ 3}x^{ \frac{3}{2}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cint%7B+x%5E%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%7D+%7Ddx+%3D+%5Cfrac%7B+x%5E%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B1+%7D+%7D%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B1+%7D+%5C%5C++%5C%5C+%5Ctextrm%7Bes+decir%2C%7D%0A+%5C%5C++%5C%5C++%5Cdisplaystyle%5Cint%7B+x%5E%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%7D+%7Ddx+%3D+%5Cfrac%7B+2+%7D%7B+3%7Dx%5E%7B+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D)
pero debemos volver a la variable original...
![\left.\displaystyle\frac{2}{3}\sec^{ \frac{3}{2} }(u) \right|^{ \frac{\pi}{4} }_{0} \left.\displaystyle\frac{2}{3}\sec^{ \frac{3}{2} }(u) \right|^{ \frac{\pi}{4} }_{0}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft.%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Csec%5E%7B+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D+%7D%28u%29+%5Cright%7C%5E%7B+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D+%7D_%7B0%7D+++)
ojo, ya cambiado a la variable original podemos evaluar a todo el resultado, pudimos haber cambiado los límties de integración al momento de haber hecho la sustitución... como quieras.
usando el teorema fundamental del cálculo,![\displaystyle F(b)-F(a) \displaystyle F(b)-F(a)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+F%28b%29-F%28a%29)
entonces,
![\displaystyle\left( \frac{2}{3}\sec^{ \frac{3}{2} }\left( \frac{\pi}{4} \right) \right)-\left(\frac{2}{3}\sec^{ \frac{3}{2} }(0) \right) \displaystyle\left( \frac{2}{3}\sec^{ \frac{3}{2} }\left( \frac{\pi}{4} \right) \right)-\left(\frac{2}{3}\sec^{ \frac{3}{2} }(0) \right)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cleft%28+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Csec%5E%7B+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D+%7D%5Cleft%28+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D+%5Cright%29++%5Cright%29-%5Cleft%28%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Csec%5E%7B+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D+%7D%280%29+%5Cright%29)
ahora si usas una calculadora el resultado se hace muy ´facil, pero en caso de no tenerla podemos hacer lo siguiente,
sabemos que
![\displaystyle\sec(x)= \frac{1}{\cos(x)} \textrm{ entonces, podemos decir que }\sec^{ \frac{3}{2} }(x)= \frac{1}{\cos^{ \frac{3}{2} }(u) } \displaystyle\sec(x)= \frac{1}{\cos(x)} \textrm{ entonces, podemos decir que }\sec^{ \frac{3}{2} }(x)= \frac{1}{\cos^{ \frac{3}{2} }(u) }](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Csec%28x%29%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccos%28x%29%7D+%5Ctextrm%7B++entonces%2C+podemos+decir+que+%7D%5Csec%5E%7B+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D+%7D%28x%29%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccos%5E%7B+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D+%7D%28u%29+%7D+++)
entonces nos queda,
![\displaystyle\left( \frac{2}{3} \frac{1}{\cos^{ \frac{3}{2} }\left( \frac{\pi}{4} \right) }\right)-\left( \frac{2}{3} \frac{1}{\cos^{ \frac{3}{2} }\left( 0\right) }\right) \displaystyle\left( \frac{2}{3} \frac{1}{\cos^{ \frac{3}{2} }\left( \frac{\pi}{4} \right) }\right)-\left( \frac{2}{3} \frac{1}{\cos^{ \frac{3}{2} }\left( 0\right) }\right)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cleft%28+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccos%5E%7B+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D+%7D%5Cleft%28+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D+%5Cright%29+%7D%5Cright%29-%5Cleft%28+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccos%5E%7B+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D+%7D%5Cleft%28+0%5Cright%29+%7D%5Cright%29++)
ahora por notación podemos hacer lo siguiente, sabemos que
![\displaystyle\cos^{ \frac{3}{2} } (u)=\left(\cos(u)\right)^{ \frac{3}{2} } \displaystyle\cos^{ \frac{3}{2} } (u)=\left(\cos(u)\right)^{ \frac{3}{2} }](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Ccos%5E%7B+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D+%7D+%28u%29%3D%5Cleft%28%5Ccos%28u%29%5Cright%29%5E%7B+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D+%7D+)
entonces,
![\displaystyle\left( \frac{2}{3} \frac{1}{\left(\cos\left( \frac{\pi}{4} \right)\right)^{ \frac{3}{2} } }\right)-\left( \frac{2}{3} \frac{1}{(\cos\left( 0\right))^{ \frac{3}{2} } }\right) \displaystyle\left( \frac{2}{3} \frac{1}{\left(\cos\left( \frac{\pi}{4} \right)\right)^{ \frac{3}{2} } }\right)-\left( \frac{2}{3} \frac{1}{(\cos\left( 0\right))^{ \frac{3}{2} } }\right)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cleft%28+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cleft%28%5Ccos%5Cleft%28+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D+%5Cright%29%5Cright%29%5E%7B+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D+%7D+%7D%5Cright%29-%5Cleft%28+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%28%5Ccos%5Cleft%28+0%5Cright%29%29%5E%7B+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D+%7D+%7D%5Cright%29+)
lo que si sabemos es que,
![\displaystyle\cos\left( \frac{\pi}{4} \right)=\cos(45)= \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \\ \cos(0)=1 \displaystyle\cos\left( \frac{\pi}{4} \right)=\cos(45)= \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \\ \cos(0)=1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Ccos%5Cleft%28+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D+%5Cright%29%3D%5Ccos%2845%29%3D+%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7B2%7D+%7D%7B2%7D+%5C%5C++%5C%5C+%5Ccos%280%29%3D1)
entonces,
![\left( \frac{2}{3} \frac{1}{\left( \frac{ \sqrt{2} }{2} \right)^{ \frac{3}{2} } }\right)-\left( \frac{2}{3} \frac{1}{(1)^{ \frac{3}{2} } }\right) \left( \frac{2}{3} \frac{1}{\left( \frac{ \sqrt{2} }{2} \right)^{ \frac{3}{2} } }\right)-\left( \frac{2}{3} \frac{1}{(1)^{ \frac{3}{2} } }\right)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%28+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cleft%28+%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7B2%7D+%7D%7B2%7D+%5Cright%29%5E%7B+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D+%7D+%7D%5Cright%29-%5Cleft%28+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%281%29%5E%7B+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D+%7D+%7D%5Cright%29)
bueno ahora si sería bueno que te consigas una calculadora jaja...en fin, te va a quedar que,
0,45453...
y eso sería todo espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas
podemos considerar una sustitución del tipo
derivamos,
entonces la integral nos va a quedar
haciendo uso del álgebra con las leyes de los exponentes,
tenemos que,
pero debemos volver a la variable original...
ojo, ya cambiado a la variable original podemos evaluar a todo el resultado, pudimos haber cambiado los límties de integración al momento de haber hecho la sustitución... como quieras.
usando el teorema fundamental del cálculo,
entonces,
ahora si usas una calculadora el resultado se hace muy ´facil, pero en caso de no tenerla podemos hacer lo siguiente,
sabemos que
entonces nos queda,
ahora por notación podemos hacer lo siguiente, sabemos que
entonces,
lo que si sabemos es que,
entonces,
bueno ahora si sería bueno que te consigas una calculadora jaja...en fin, te va a quedar que,
0,45453...
y eso sería todo espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas
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