Question

Las parábolas representativas de las funciones f(x) = x2 – 9 y g(x) = 9 – x2 se intersectan en el punto (x, y). ¿Cuál es el valor de x + y, si se sabe que x e y son números NO negativos?
Seleccione una:

A.
-6

B.
-3

C.
0

D.
3

E.
6

Answer 1

El valor de x + y es 3

Siendo la opción correcta la D

Solución

Dadas las funciones

$\large\boxed{\bold {f(x)= x^{2} -9 }}$

y

$\large\boxed{\bold {g(x)= 9-x^{2} =-x^{2} +9 }}$

Hallamos los puntos de intersección de las dos funciones

Donde ambas son funciones cuadráticas o de segundo grado

Donde la representación gráfica de una ecuación cuadrática será siempre una parábola

$\large\boxed{\bold {f(x)= x^{2} -9 }}$

$\large\boxed{\bold {g(x)=-x^{2} +9 }}$

Igualamos las dos funciones

$\boxed{\bold {f(x)=g(x) }}$

Para obtener una ecuación cuadrática de la forma

$\bold{ ax^{2} +bx +c}$

$\boxed{\bold {x^{2} -9 = -x^{2}+9 }}$

$\boxed{\bold {2x^{2} -9 = 9 }}$

$\boxed{\bold {2x^{2} -9 - 9= 0 }}$

$\boxed{\bold {2x^{2} -18= 0 }}$

$\large\textsf {Simplificamos dividiendo entre 2 }$

$\large\boxed{\bold {x^{2} -9= 0 }}$

Dado que no tenemos término en x se tiene una ecuación cuadrática incompleta

$\textsf {Donde a = 1, b = 0 y c = -9 }$

Donde resolvemos para x

Para hallar el valor de las abscisas de los puntos de intersección de las dos parábolas

$\large\boxed{\bold {x^{2} -9= 0 }}$

$\boxed{\bold {x^{2} = 9 }}$

$\boxed{\bold {x = \pm \sqrt{9} }}$

$\boxed{\bold {x = \pm \ 3 }}$

Luego

$\large\boxed{\bold {x_{1} = 3 }}$

$\large\boxed{\bold {x_{2} =- 3 }}$

Habiendo hallado los puntos de intersección en el eje X de las dos funciones cuadráticas

Hallamos los puntos de intersección con el eje Y

$\bold{Reemplazamos \ el \ valor \ de \ x_{1} = 3 \ en }$

$\large\boxed{\bold {f(x)= x^{2} -9 }}$

$\large\textsf {Para determinar el valor correspondiente para }\ \bold{ y_{1} }$

$\large\boxed{\bold {y_{1} = x^{2} -9 }}$

$\boxed{\bold {y_{1} = (3)^{2} -9 }}$

$\boxed{\bold {y_{1} = 9 -9 }}$

$\boxed{\bold {y_{1} = 0 }}$

Por lo tanto hemos hallado uno de los puntos de intersección de las dos parábolas

El cual está dado por el par ordenado:

$\large\boxed{\bold {(x_{1} , y_{1} ) = (3 , 0) }}$

Luego

$\bold{Reemplazamos \ el \ valor \ de \ x_{2} = -3 \ en }$

$\large\boxed{\bold {g(x)=- x^{2} +9 }}$

$\large\textsf {Para determinar el valor correspondiente para }\ \bold{ y_{2} }$

$\large\boxed{\bold {y_{2} = -x^{2} +9 }}$

$\boxed{\bold {y_{2} = -(-3)^{2} +9 }}$

$\boxed{\bold {y_{2} = -9 +9 }}$

$\boxed{\bold {y_{2} = 0 }}$

Donde hemos hallado el otro  punto de intersección de las dos parábolas

El cual está dado por el par ordenado:

$\large\boxed{\bold {(x_{2} , y_{2} ) = (-3 , 0) }}$

Concluyendo que ambas funciones cuadráticas se intersecan en los puntos (3, 0) y (-3, 0)

Habiendo determinado los puntos de intersección de las funciones el ejercicio nos pide hallar el valor de x + y, si se sabe que x e y son números NO negativos

Por tanto de las dos intersecciones halladas para las funciones

Tomamos el que contiene el valor positivo

$\large\boxed{\bold {(x_{1} , y_{1} ) = (3 , 0) }}$

Y efectuamos la sumatoria

$\large\boxed{\bold {(x, y) = (3 , 0) }}$

$\boxed{\bold {x + y = 3 + 0 }}$

$\large\boxed{\bold {x + y = 3 }}$

Dado que las parábolas que representan a las dos funciones se intersecan en dos puntos, y se pide hallar el valor de x + y siendo x e y números no negativos

El valor de x + y es 3